0 diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas maquinas extrusoras diferentes, esta sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos n1=15 e n2=17 são selecionadas e as médias e variâncias das amostras são x1=8,73, s1^2=0,35, e x2=8,68 e s2^2=0,40, respectivamente. Suponha que sigma1^2=sigma2^2 e que os dados sejam retirados de uma população normal.
b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a diferença no diâmetro médio dos bastões. Interprete esse intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre comparar o diâmetro médio de bastões de aço produzidos por duas máquinas diferentes. A matéria aqui envolve intervalos de confiança para a diferença entre médias de duas populações, assumindo variâncias iguais e distribuições normais. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do intervalo de confiança para diferença de médias com variâncias iguais e entender como calcular a variância combinada.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Amostra 1: tamanho sp^2 = (n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2 , média , variância
  • Amostra 2: tamanho , média , variância
Como assumimos que , vamos calcular a variância combinada ( ) usando a fórmula:

Passo 3

Vamos calcular sp^2 = (15 - 1) times 0,35 + (17 - 1) times 0,4015 + 17 - 2 = 14 times 0,35 + 16 times 0,4030 = 4,9 + 6,430 = 11,330 approx 0,3767 :

Passo 4

Agora, calculamos o erro padrão da diferença das médias:
SE = raizsp^2 ( 1n1 + 1n2 ) = raiz0,3767 ( 115 + 117 ) approx raiz0,3767 times 0,1235 approx raiz0,0465 approx 0,2155

Passo 5

Precisamos do valor crítico da distribuição t para um intervalo de confiança de 95% com graus de liberdade. Olhando na tabela t, temos .

Passo 6

Agora, calculamos a diferença das médias:
x1 - x2 = 8,73 - 8,68 = 0,05

Passo 7

Construímos o intervalo de confiança usando a fórmula:
(x1 - x2) pm talpha/2 times SE
Substituindo os valores:
0,05 pm 2,042 times 0,2155 approx 0,05 pm 0,439

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença no diâmetro médio dos bastões é aproximadamente a . Isso significa que, com 95% de confiança, a diferença nas médias dos diâmetros entre os bastões das duas máquinas está entre e milímetros. Como o intervalo inclui zero, não temos evidências suficientes para afirmar que há uma diferença significativa nos diâmetros médios produzidos pelas duas máquinas.

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