Considere o teste de hipóteses H0: mu1=mu2 contra H1: mu1 neq mu2, com variâncias conhecidas sigma1=10 e sigma2=5. Suponha que os tamanhos de amostra sejam n1=10 e n2=15 e que x1=4,7 e x2=7,8. Use alpha=0,05.
a) Teste a hipótese e encontre o valor P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um teste de hipóteses para comparar as médias de dois grupos. A hipótese nula ( H0) diz que as médias são iguais ( mu1 = mu2) e a alternativa ( H1) diz que elas são diferentes ( mu1 neq mu2). As variâncias conhecidas são sigma1=10 e sigma2=5. Temos amostras de tamanhos n1=10 e n2=15, com médias amostrais x1=4,7 e x2=7,8. A gente vai usar um nível de significância alpha=0,05. Para resolver, vamos calcular o valor do teste Z e depois encontrar o valor-p correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença entre as médias amostrais: x1 - x2 = 4,7 - 7,8 = -3,1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o erro padrão da diferença das médias. Como as variâncias são conhecidas, usamos a fórmula:
SE = raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2 = raiz10^210 + 5^215 = raiz10010 + 2515 = raiz10 + 53 = raiz353 approx raiz11,6667 approx 3,4157

Passo 4

Com o erro padrão calculado, vamos encontrar o valor do teste Z:
Z = (x1 - x2) - (mu1 - mu2)SE = -3,1 - 03,4157 approx -3,13,4157 approx -0,906
Aqui, consideramos que sob H0, a diferença (mu1 - mu2) é zero.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor-p. Como o teste é bilateral ( mu1 neq mu2), o valor-p é duas vezes a probabilidade de obtermos um Z tão extremo quanto o observado.
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z < -0,906) approx 0,183
Então,
Valor-p = 2 times 0,183 approx 0,366

Resposta

O valor-p do teste é aproximadamente 0,366.

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