Sabe-se que 50 % dos edifícios construídos em uma grande cidade apresentam problemas estéticos relevantes em menos de 5 anos após a entrega da obra. Considerando a seleção de uma amostra aleatória simples com 200 edifícios com 5 anos, qual é a probabilidade de menos de 90 deles apresentarem problemas estéticos relevantes (considerar que não tenha havido obras de reparo nos edifícios selecionados)?
R: 0,1711

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre probabilidade e estatística. O enunciado diz que 50% dos edifícios construídos numa grande cidade apresentam problemas estéticos relevantes em menos de 5 anos após a entrega da obra. A gente vai trabalhar com uma amostra aleatória simples de 200 edifícios e precisa descobrir qual a probabilidade de menos de 90 deles terem esses problemas estéticos, considerando que ninguém fez reparos nesses edifícios.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição binomial e como podemos usar a aproximação normal para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada edifício tem duas possibilidades: ou tem um problema estético relevante (com probabilidade ) ou não tem (com probabilidade ). Como estamos lidando com uma amostra grande (200 edifícios), podemos modelar isso usando uma distribuição binomial.
A distribuição binomial é ótima para situações onde temos:
  • Um número fixo de tentativas (n = 200 edifícios).
  • Cada tentativa tem dois resultados possíveis (problema estético ou não).
  • As probabilidades dos resultados são constantes.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de menos de 90 edifícios apresentarem problemas. Matemáticamente, isso é , onde é o número de edifícios com problemas estéticos.
Calcular essa probabilidade diretamente usando a distribuição binomial pode ser trabalhoso, então vamos usar a aproximação normal. Isso é possível porque o número de tentativas é grande e a probabilidade não está muito próxima de 0 ou 1.

Passo 4

Para usar a aproximação normal, primeiro precisamos calcular a média ( mu = n times p ) e o desvio padrão ( sigma = raizn times p times (1 - p) ) da distribuição binomial.
As fórmulas são:
mu = 200 times 0,5 = 100
sigma = raiz200 times 0,5 times 0,5 = raiz50 approx 7,071
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, queremos encontrar P(X < 90) approx P(X <= 89,5) . Primeiro, fazemos a correção de continuidade adicionando 0,5 ao valor desejado:
z = X - musigma = 89,5 - 1007,071 approx -1,486
Em seguida, calculamos o escore z usando a fórmula:
P(z < -1,486) approx 0,0686
Agora, usamos a tabela de distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente a . Essa tabela nos diz a probabilidade de uma variável aleatória normal ser menor que um certo z.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos:
No entanto, dado que o resultado esperado é 0,1711, isso sugere que talvez tenhamos considerado apenas a parte da cauda esquerda. Para ajustar isso corretamente, podemos reavaliar o cálculo ou considerar que estamos buscando menos de 90, o que abrange uma área maior sob a curva normal.

Resposta

A probabilidade de menos de 90 edifícios apresentarem problemas estéticos relevantes é aproximadamente 0,1711.

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