Considere o teste H_{0}: \sigma^{2}=7 contra H_{1}: \sigma^{2} \neq 7. Quais são os valores críticos para a estatística de teste X_{0}^{2} para os seguintes níveis de significância e tamanhos de amostra?
\alpha=0,05 e \mathrm{n}=12

Passo 1

O enunciado pede os valores críticos da estatística de teste \,X_0^2\, para testar
H_{0}:\sigma^{2}=7\quad\text{vs.}\quad H_{1}:\sigma^{2}\neq 7
com nível de significância \alpha=0{,}05 e tamanho de amostra \,n=12.
Informações úteis dadas no enunciado:
  • \alpha = 0{,}05.
  • \,n = 12.
  • O teste é bilateral (porque H_{1} é do tipo `` \neq’’).

Passo 2

Definir a estatística de teste e sua distribuição sob H_{0}.
Para testar a variância de uma população normal (ou quando se assume normalidade), usa-se a estatística
X_0^2=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}},
onde:
  • n é o tamanho da amostra,
  • S^{2} é a variância amostral (estimador da variância populacional),
  • \sigma_{0}^{2} é o valor da variância sob H_{0} (aqui \sigma_{0}^{2}=7).
Teoria importante (explicando devagar): sob H_{0}, quando a amostra vem de uma população normal, a estatística \,X_0^2\, tem distribuição qui‑quadrado com \,n-1\, graus de liberdade. Ou seja,
X_0^2 \sim \chi^{2}_{\,n-1}\quad\text{sob }H_{0}.
Aqui, como n=12, o número de graus de liberdade é
\nu=n-1=11.

Passo 3

Construir a regra de rejeição para um teste bilateral ao nível \alpha.
Num teste bilateral de variância, divide‑se a cauda em dois, cada uma com probabilidade \alpha/2. Assim a região crítica é
\text{Rejeitar }H_{0}\quad\text{se}\quad X_0^2<\chi^{2}_{\alpha/2,\,\nu}\quad\text{ou}\quad X_0^2>\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,\nu},
onde \chi^{2}_{p,\,\nu} é o quantil (percentil) p da distribuição \chi^{2} com \nu graus de liberdade.
No caso dado: \alpha/2=0{,}025 e \nu=11. Precisamos dos quantis \chi^{2}_{0{,}025,\,11} (limite inferior) e \chi^{2}_{0{,}975,\,11} (limite superior).

Passo 4

Obter os valores numéricos dos quantis da distribuição \chi^{2} com \nu=11.
Consultando uma tabela de qui‑quadrado (ou calculadora estatística), os quantis são aproximadamente
\chi^{2}_{0{,}025,\,11}\approx 3{,}816 \qquad\text{e}\qquad \chi^{2}_{0{,}975,\,11}\approx 21{,}920.
Interpretação prática: com nível \alpha=0{,}05 rejeita‑se H_{0} se a estatística calculada cair abaixo de 3{,}816 (cauda inferior de 2{,}5\%) ou acima de 21{,}920 (cauda superior de 2{,}5\%).

Resposta

X_0^2 < \chi^{2}_{0{,}025,\,11} = 3{,}816
X_0^2 > \chi^{2}_{0{,}975,\,11} = 21{,}920

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