Em um jogo de roleta russa, uma pessoa insere apenas um projétil no tambor de um revólver, deixando os outros cinco espaços do tambor vazios. Ele então gira o tambor, aponta para a cabeça, e aperta o gatilho.
a) Qual é a probabilidade de ela se manter viva após jogar o jogo N vezes?
b) Qual é a probabilidade de sobreviver (N-1) vezes neste jogo e então ser atingido pelo projétil na N-ésima vez?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: um revólver com seis câmaras, exatamente uma contém um projétil e as outras cinco estão vazias. A cada jogada a pessoa gira o tambor antes de apertar o gatilho (ou seja, cada tentativa é feita com o tambor aleatoriamente reembaralhado).
  • Informação importante que peguei do enunciado: ao girar o tambor a cada vez, a chance de a câmara alinhada com o cano conter o projétil em qualquer jogada é a mesma e independente das outras jogadas.
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Qual é a probabilidade de ela se manter viva após jogar o jogo N vezes?
    • (b) Qual é a probabilidade de sobreviver (N-1) vezes e então ser atingido pelo projétil na N-ésima vez?

Passo 2

Entendendo as probabilidades de um único tiro e modelando cada jogada.
  • Em uma única jogada, como há 6 câmaras com exatamente 1 projétil, a probabilidade de o projétil estar na câmara que dispara é
\frac{1}{6}.
  • Consequentemente, a probabilidade de a câmara estar vazia (isto é, de a pessoa sobreviver naquela jogada) é
1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}.
  • Como o enunciado diz que o tambor é girado antes de cada tentativa, cada jogada é independente das outras: o resultado de uma jogada não influencia as probabilidades das jogadas seguintes. Quando eventos são independentes, a regra para combinar probabilidades de ocorrências simultâneas é multiplicar as probabilidades individuais.
Vou explicar a regra de multiplicação de forma bem simples: se dois eventos independentes A e B têm probabilidades P(A) e P(B), então a probabilidade de ambos ocorrerem é
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\cdot P(B).
Esse mesmo princípio vale para N eventos independentes: multiplica-se todas as probabilidades.

Passo 3

Resolvendo a parte (a): probabilidade de sobreviver após N jogadas.
  • Para sobreviver às N jogadas é preciso sobreviver na jogada 1 E na jogada 2 E \dots E na jogada N.
  • Cada sobrevivência tem probabilidade \dfrac{5}{6} e, por independência, multiplicamos essas probabilidades N vezes:
P(\text{sobreviver às }N\text{ jogadas})=\left(\frac{5}{6}\right)^N.à
  • Exemplos rápidos para sentir o número:
    • Para N=1: P=(5/6)\approx 0,8333.
    • Para N=2: P=(5/6)^2=\dfrac{25}{36}\approx 0,6944.

Passo 4

Explicando uma interpretação alternativa: distribuição geométrica (opcional mas útil).
  • Se chamarmos “sucesso” o evento de ser atingido (probabilidade p=\dfrac{1}{6}), então a probabilidade de sobreviver k vezes antes do primeiro sucesso segue uma distribuição geométrica.
  • A fórmula padrão para a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente na tentativa N é
P(\text{primeiro sucesso na tentativa }N)=(1-p)^{N-1}p.
Isto será usado diretamente na parte (b).

Passo 5

Resolvendo a parte (b): sobreviver (N-1) vezes e então ser atingido na N-ésima.
  • Precisamos que ocorram, em sequência: sobreviver nas primeiras (N-1) jogadas (cada uma com probabilidade \dfrac{5}{6}) e depois ser atingido na N-ésima (probabilidade \dfrac{1}{6}).
  • Pela regra da multiplicação para eventos independentes:
P(\text{sobreviver }N-1\text{ vezes e ser atingido na }N\text{-ésima})=\left(\frac{5}{6}\right)^{N-1}\cdot\frac{1}{6}.é
  • Checagem rápida (sanity check): a soma dessa probabilidade para N=1,2,3,\dots é
\sum_{N=1}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{N-1}\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\sum_{N=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{N}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{5}{6}}=1,
ou seja, alguma tentativa acabará em sucesso com probabilidade total 1 — isso confirma consistência do modelo (assumindo que o jogo pode continuar indefinidamente).

Resposta

(a) \left(\dfrac{5}{6}\right)^{N}
(b) \left(\dfrac{5}{6}\right)^{N-1}\dfrac{1}{6}

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