Em um jogo de roleta russa, uma pessoa insere apenas um projétil no tambor de um revólver, deixando os outros cinco espaços do tambor vazios. Ele então gira o tambor, aponta para a cabeça, e aperta o gatilho.
a) Qual é a probabilidade de ela se manter viva após jogar o jogo
vezes?
b) Qual é a probabilidade de sobreviver
vezes neste jogo e então ser atingido pelo projétil na
-ésima vez?
a) Qual é a probabilidade de ela se manter viva após jogar o jogo
b) Qual é a probabilidade de sobreviver
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado: um revólver com seis câmaras, exatamente uma contém um projétil e as outras cinco estão vazias. A cada jogada a pessoa gira o tambor antes de apertar o gatilho (ou seja, cada tentativa é feita com o tambor aleatoriamente reembaralhado).
- Informação importante que peguei do enunciado: ao girar o tambor a cada vez, a chance de a câmara alinhada com o cano conter o projétil em qualquer jogada é a mesma e independente das outras jogadas.
- Perguntas do enunciado:
- (a) Qual é a probabilidade de ela se manter viva após jogar o jogo
vezes? - (b) Qual é a probabilidade de sobreviver
vezes e então ser atingido pelo projétil na -ésima vez?
- (a) Qual é a probabilidade de ela se manter viva após jogar o jogo
Passo 2
Entendendo as probabilidades de um único tiro e modelando cada jogada.
- Em uma única jogada, como há
câmaras com exatamente projétil, a probabilidade de o projétil estar na câmara que dispara é
- Consequentemente, a probabilidade de a câmara estar vazia (isto é, de a pessoa sobreviver naquela jogada) é
- Como o enunciado diz que o tambor é girado antes de cada tentativa, cada jogada é independente das outras: o resultado de uma jogada não influencia as probabilidades das jogadas seguintes. Quando eventos são independentes, a regra para combinar probabilidades de ocorrências simultâneas é multiplicar as probabilidades individuais.
Vou explicar a regra de multiplicação de forma bem simples: se dois eventos independentes
e
têm probabilidades
e
, então a probabilidade de ambos ocorrerem é
Esse mesmo princípio vale para
eventos independentes: multiplica-se todas as probabilidades.
Passo 3
Resolvendo a parte (a): probabilidade de sobreviver após
jogadas.
- Para sobreviver às
jogadas é preciso sobreviver na jogada E na jogada E E na jogada . - Cada sobrevivência tem probabilidade
e, por independência, multiplicamos essas probabilidades vezes:
- Exemplos rápidos para sentir o número:
- Para
: . - Para
: .
- Para
Passo 4
Explicando uma interpretação alternativa: distribuição geométrica (opcional mas útil).
- Se chamarmos “sucesso” o evento de ser atingido (probabilidade
), então a probabilidade de sobreviver vezes antes do primeiro sucesso segue uma distribuição geométrica. - A fórmula padrão para a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente na tentativa
é
Isto será usado diretamente na parte (b).
Passo 5
Resolvendo a parte (b): sobreviver
vezes e então ser atingido na
-ésima.
- Precisamos que ocorram, em sequência: sobreviver nas primeiras
jogadas (cada uma com probabilidade ) e depois ser atingido na -ésima (probabilidade ). - Pela regra da multiplicação para eventos independentes:
- Checagem rápida (sanity check): a soma dessa probabilidade para
é
ou seja, alguma tentativa acabará em sucesso com probabilidade total
— isso confirma consistência do modelo (assumindo que o jogo pode continuar indefinidamente).
Resposta
(a)
(b)