Um gestor ambiental deseja verificar se o aumento da frota de veículos (em milhares) está correlacionado à concentração de C O_{2}(\mathrm{em} \mathrm{ppm}) na atmosfera local.Calcule o valor do coeficiente de correlacao linear de person e interprete a força da correlação. Faca o grafico de dispersao.
Ano Frota (x) \mathrm{CO}_{2}(y)
1 10 350
2 12 355
3 15 362
4 18 380
5 20 395

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  • Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson entre a frota (em milhares) e a concentração de \mathrm{CO}_{2}.
  • Interpretar a força dessa correlação e fazer o gráfico de dispersão.
Os dados fornecidos (peguei-os do enunciado) são:
\begin{array}{c|cc} \text{Ano} & x\\ (\text{frota, milhares}) & y\\ (\mathrm{CO}_2,\\ \text{ppm})\\hline 1 & 10 & 350\\\\ 2 & 12 & 355\\\\ 3 & 15 & 362\\\\ 4 & 18 & 380\\\\ 5 & 20 & 395 \end{array}

Passo 2

Primeiro vou explicar a fórmula que vamos usar — é o coração da técnica, sem complicação.
A fórmula do coeficiente de correlação linear de Pearson é
r=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)\bigl(y_i-\bar{y}\bigr)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^{2}\;\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-\bar{y}\bigr)^{2}}}.
O que cada símbolo significa:
  • n é o número de pares de observações (aqui n=5).
  • x_i é o i-ésimo valor da variável x (frota).
  • y_i é o i-ésimo valor da variável y ( \mathrm{CO}_2).
  • \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i é a média de x.
  • \bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i é a média de y.
Intuição rápida: o numerador mede como x e y variam juntos (covariância); o denominador normaliza isso pelas variações individuais, levando o resultado para o intervalo [-1,1]. Valores próximos de 1 indicam forte correlação positiva, próximos de -1 forte correlação negativa, e próximos de 0 pouca ou nenhuma correlação linear.

Passo 3

Calculo das médias \bar{x} e \bar{y}.
\bar{x}=\dfrac{10+12+15+18+20}{5}=\dfrac{75}{5}=15.
\bar{y}=\dfrac{350+355+362+380+395}{5}=\dfrac{1842}{5}=368{,}4.

Passo 4

Agora calculo, para cada par (x_i,y_i), as diferenças em relação às médias, seus produtos e os quadrados — passo a passo (vou mostrar cada linha para você conseguir reproduzir na prova).
Para i=1:
x_1=10,\quad x_1-\bar{x}=10-15=-5,
y_1=350,\quad y_1-\bar{y}=350-368{,}4=-18{,}4,
(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})=(-5)(-18{,}4)=92{,}0,
(x_1-\bar{x})^{2}=25,\quad (y_1-\bar{y})^{2}=338{,}56.
Para i=2:
x_2=12,\quad x_2-\bar{x}=12-15=-3,
y_2=355,\quad y_2-\bar{y}=355-368{,}4=-13{,}4,
(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})=(-3)(-13{,}4)=40{,}2,
(x_2-\bar{x})^{2}=9,\quad (y_2-\bar{y})^{2}=179{,}56.
Para i=3:
x_3=15,\quad x_3-\bar{x}=0,
y_3=362,\quad y_3-\bar{y}=362-368{,}4=-6{,}4,
(x_3-\bar{x})(y_3-\bar{y})=0\cdot(-6{,}4)=0{,}0,
(x_3-\bar{x})^{2}=0,\quad (y_3-\bar{y})^{2}=40{,}96.
Para i=4:
x_4=18,\quad x_4-\bar{x}=3,
y_4=380,\quad y_4-\bar{y}=380-368{,}4=11{,}6,
(x_4-\bar{x})(y_4-\bar{y})=3\cdot11{,}6=34{,}8,
(x_4-\bar{x})^{2}=9,\quad (y_4-\bar{y})^{2}=134{,}56.
Para i=5:
x_5=20,\quad x_5-\bar{x}=5,
y_5=395,\quad y_5-\bar{y}=395-368{,}4=26{,}6,
(x_5-\bar{x})(y_5-\bar{y})=5\cdot26{,}6=133{,}0,
(x_5-\bar{x})^{2}=25,\quad (y_5-\bar{y})^{2}=707{,}56.

Passo 5

Somando os resultados necessários:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=92{,}0+40{,}2+0{,}0+34{,}8+133{,}0=300{,}0.
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^{2}=25+9+0+9+25=68.
\sum_{i=1}^{5}(y_i-\bar{y})^{2}=338{,}56+179{,}56+40{,}96+134{,}56+707{,}56=1401{,}20.

Passo 6

Agora substituo na fórmula de r:
r=\dfrac{300{,}0}{\sqrt{68\cdot1401{,}20}}.
Calculo do denominador:
68\cdot1401{,}20=95281{,}6, \qquad \sqrt{95281{,}6}\approx308{,}677.
Portanto
r\approx\dfrac{300{,}0}{308{,}677}\approx0{,}9718\approx0{,}972.

Passo 7

Interpretação da força da correlação (como explicar na prova):
  • r\approx0{,}972 indica uma correlação linear positiva muito forte entre o tamanho da frota e a concentração de \mathrm{CO}_2.
  • O coeficiente de determinação é r^{2}\approx(0{,}972)^{2}\approx0{,}945. Isso significa que, num ajuste linear simples, cerca de 94{,}5\% da variação observada em \mathrm{CO}_2 é explicada pela variação na frota (segundo esse modelo linear).
  • Lembre-se (dica importante para responder em prova): correlação não prova causalidade. Há uma associação forte, mas não podemos afirmar pelo coeficiente isolado que o aumento da frota causa todo o aumento do \mathrm{CO}_2 — podem existir outros fatores ou variáveis de confusão.

Passo 8

Gráfico de dispersão (como fazer, passo a passo — isso é o que você deve desenhar na prova ou num software):
  • Pontos a plotar (peguei os valores da tabela):
(10,350),\\ (12,355),\\ (15,362),\\ (18,380),\\ (20,395).
  • Eixos: no eixo horizontal colocar x (frota, em milhares) cobrindo de 10 a 20; no eixo vertical colocar y ( \mathrm{CO}_2, em ppm) cobrindo aproximadamente de 340 a 400.
  • Cada ponto corresponde a um ano. Como verificação visual: os pontos formam uma nuvem crescente quase sobre uma reta, coerente com r alto.
  • Opcional (muito útil): desenhar a reta de regressão linear (linha de melhor ajuste) para evidenciar a relação. A reta de mínimos quadrados tem coeficientes:
\text{slope } b=\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^{2}}=\dfrac{300{,}0}{68}\approx4{,}4118,
\text{intercept } a=\bar{y}-b\bar{x}=368{,}4-4{,}4118\cdot15\approx302{,}2235.
Assim a reta fica, aproximadamente,
\hat{y}=302{,}224+4{,}412\,x.
  • Se você estiver fazendo o gráfico à mão na prova: desenhe os pontos e trace a reta passando próxima de todos (use a equação acima para marcar dois pontos da reta e ligar).

Resposta

r\approx0{,}972
Correlação linear positiva muito forte ( r^{2}\approx0{,}945, ou seja, \approx94{,}5\% da variação de \mathrm{CO}_2 é explicada pelo modelo linear).
Pontos para o gráfico de dispersão: (10,350),\\ (12,355),\\ (15,362),\\ (18,380),\\ (20,395).

Exercícios relacionados