Um gestor ambiental deseja verificar se o aumento da frota de veículos (em milhares) está correlacionado à concentração de
na atmosfera local.Calcule o valor do coeficiente de correlacao linear de person e interprete a força da correlação. Faca o grafico de dispersao.
Ano
Frota
1
10
350
2
12
355
3
15
362
4
18
380
5
20
395
| Ano | Frota
|
|
| 1 | 10 | 350 |
| 2 | 12 | 355 |
| 3 | 15 | 362 |
| 4 | 18 | 380 |
| 5 | 20 | 395 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson entre a frota (em milhares) e a concentração de
. - Interpretar a força dessa correlação e fazer o gráfico de dispersão.
Os dados fornecidos (peguei-os do enunciado) são:
Passo 2
Primeiro vou explicar a fórmula que vamos usar — é o coração da técnica, sem complicação.
A fórmula do coeficiente de correlação linear de Pearson é
O que cada símbolo significa:
-
é o número de pares de observações (aqui ). -
é o -ésimo valor da variável (frota). -
é o -ésimo valor da variável ( ). -
é a média de . -
é a média de .
Intuição rápida: o numerador mede como
e
variam juntos (covariância); o denominador normaliza isso pelas variações individuais, levando o resultado para o intervalo
. Valores próximos de
indicam forte correlação positiva, próximos de
forte correlação negativa, e próximos de
pouca ou nenhuma correlação linear.
Passo 3
Calculo das médias
e
.
Passo 4
Agora calculo, para cada par
, as diferenças em relação às médias, seus produtos e os quadrados — passo a passo (vou mostrar cada linha para você conseguir reproduzir na prova).
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Somando os resultados necessários:
Passo 6
Agora substituo na fórmula de
:
Calculo do denominador:
Portanto
Passo 7
Interpretação da força da correlação (como explicar na prova):
-
indica uma correlação linear positiva muito forte entre o tamanho da frota e a concentração de . - O coeficiente de determinação é
. Isso significa que, num ajuste linear simples, cerca de da variação observada em é explicada pela variação na frota (segundo esse modelo linear). - Lembre-se (dica importante para responder em prova): correlação não prova causalidade. Há uma associação forte, mas não podemos afirmar pelo coeficiente isolado que o aumento da frota causa todo o aumento do
— podem existir outros fatores ou variáveis de confusão.
Passo 8
Gráfico de dispersão (como fazer, passo a passo — isso é o que você deve desenhar na prova ou num software):
- Pontos a plotar (peguei os valores da tabela):
- Eixos: no eixo horizontal colocar
(frota, em milhares) cobrindo de a ; no eixo vertical colocar ( , em ppm) cobrindo aproximadamente de a . - Cada ponto corresponde a um ano. Como verificação visual: os pontos formam uma nuvem crescente quase sobre uma reta, coerente com
alto. - Opcional (muito útil): desenhar a reta de regressão linear (linha de melhor ajuste) para evidenciar a relação. A reta de mínimos quadrados tem coeficientes:
Assim a reta fica, aproximadamente,
- Se você estiver fazendo o gráfico à mão na prova: desenhe os pontos e trace a reta passando próxima de todos (use a equação acima para marcar dois pontos da reta e ligar).
Resposta
Correlação linear positiva muito forte (
Pontos para o gráfico de dispersão: