Considere o tetraedro A B C D dado a seguir, em que A B=a, A C=b, A D=c e X C=13 D C. Escreva o vetor B X em função dos vetores a, b e c.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro ABCD com
AB=vec a, AC=vec b, AD=vec c
e um ponto X em DC tal que
XC=tfrac13,DC
Queremos encontrar BX em função de vec a,vec b,vec c.

Passo 2

Para simplificar, tomamos A como origem do sistema de vetores. Assim, as posições dos vértices são
B=vec a, C=vec b e D=vec c.
O vetor DC vale
DC=vec C-vec D=vec b-vec c

Passo 3

A condição XC=tfrac13,DC diz
vec C-vec X=tfrac13(vec b-vec c),implies,vec X=vec b-tfrac13(vec b-vec c)=tfrac23,vec b+tfrac13,vec c

Passo 4

Finalmente, o vetor que vai de B a X é
BX=vec X-vec B=l(tfrac23,vec b+tfrac13,vec cr)-vec a=-vec a+tfrac23,vec b+tfrac13,vec c

Resposta

boxedBX=-vec a+tfrac23,vec b+tfrac13,vec c

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