Questão 20/20 - Geometria Analítica
Qual é a distância entre o ponto P(9,27,13) e o plano alpha: x+y+z-10=0 ?
(A) 17,09
O B 22,52
O C 29,18
O D 30,31

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto P(9,27,13) e o plano alpha: x+y+z-10=0. O conteúdo aqui é calcular a distância de um ponto a um plano. Para isso usamos a fórmula
d = l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2 + B^2 + C^2,
onde Ax+By+Cz+D=0 é a equação do plano e (x0,y0,z0) são as coordenadas do ponto.

Passo 2

Identificamos na equação do plano que A=1, B=1, C=1 e D=-10. Substituindo em Ax0+By0+Cz0+D temos
1cdot9 + 1cdot27 + 1cdot13 - 10 = 9 + 27 + 13 - 10 = 39

Passo 3

Calculamos a norma do vetor normal (A,B,C)=(1,1,1):
raizA^2 + B^2 + C^2 = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância:
d = |39|raiz3 = 39raiz3 = 13raiz3 approx 22,52

Resposta

A distância é aproximadamente 22,52, ou seja, alternativa B.

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