Considere o tetraedro T limitado pelos planos coordenados (plano xy, plano xz, plano yz) e o plano 4 x+2 y+z-4=0.
Faça um esboço desse tetraedro em R^3. (Dica: Trace as retas de interseção do plano 4 x+2 y+z-4=0 com os planos coordenados.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar um tetraedro $ T $ no espaço tridimensional T . Esse tetraedro é limitado pelos três planos coordenados: o plano $ xy $, o plano $ xz $ e o plano $ yz $, além do plano dado pela equação $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $. Para isso, vamos precisar entender como esses planos se interceptam e encontrar os pontos onde eles se encontram. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os planos coordenados:
  • Plano $ xy $: é o plano onde $ z = 0 $.
  • Plano $ xz $: é o plano onde $ y = 0 $.
  • Plano $ yz $: é o plano onde $ x = 0 $.
Agora, nosso objetivo é encontrar onde o plano $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $ intercepta cada um desses planos coordenados. Isso nos dará os vértices do tetraedro.

Passo 3

Vamos começar encontrando a interseção do plano $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $ com o **plano $ xy 4x + 2y + z - 4 = 0 z = 0 $):
Substituindo $ z = 0 $ na equação do plano:
xy
z = 0
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos $ x $ e $ y $:
  • **Intercepto com o eixo $ x z = 0 y = 0 $):
4x + 2y + 0 - 4 = 0
Então, o ponto é $ (1, 0, 0) $.
  • **Intercepto com o eixo $ y 4x + 2y = 4 x = 0 $):
x
Então, o ponto é $ (0, 2, 0) $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção do plano $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $ com o **plano $ xz 4x + 2y + z - 4 = 0 y = 0 $):
Substituindo $ y = 0 $ na equação do plano:
xz
y = 0
Encontramos os interceptos:
  • **Intercepto com o eixo $ x y = 0 z = 0 $):
4x + 0 + z - 4 = 0
Então, o ponto é $ (1, 0, 0) $ (já encontrado anteriormente).
  • **Intercepto com o eixo $ z 4x + z = 4 x = 0 $):
x
Então, o ponto é $ (0, 0, 4) $.

Passo 5

Por último, vamos encontrar a interseção do plano $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $ com o **plano $ yz 4x + 2y + z - 4 = 0 x = 0 $):
Substituindo $ x = 0 $ na equação do plano:
yz
x = 0
Encontramos os interceptos:
  • **Intercepto com o eixo $ y x = 0 z = 0 $):
0 + 2y + z - 4 = 0
Então, o ponto é $ (0, 2, 0) $ (já encontrado anteriormente).
  • **Intercepto com o eixo $ z 2y + z = 4 y = 0 $):
y
Então, o ponto é $ (0, 0, 4) $ (já encontrado anteriormente).

Passo 6

Agora, temos todos os vértices do tetraedro $ T $:
  1. $ (1, 0, 0) $
  2. $ (0, 2, 0) $
  3. $ (0, 0, 4) $
Além disso, o ponto de origem $ (0, 0, 0) $ também faz parte do tetraedro, pois é a interseção dos três planos coordenados.
Então, os quatro vértices são:
  • $ A(0, 0, 0) $
  • $ B(1, 0, 0) $
  • $ C(0, 2, 0) $
  • $ D(0, 0, 4) $

Resposta

O tetraedro $ T $ é formado pelos pontos $ A(0, 0, 0) $, $ B(1, 0, 0) $, $ C(0, 2, 0) $ e $ D(0, 0, 4) $. Ao conectar esses pontos no espaço tridimensional, obtemos o esboço do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $.

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