Considere o tetraedro
limitado pelos planos coordenados (plano
, plano
, plano
) e o plano
.
Faça um esboço desse tetraedro em
. (Dica: Trace as retas de interseção do plano
com os planos coordenados.)
Faça um esboço desse tetraedro em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar um tetraedro $ T $ no espaço tridimensional
. Esse tetraedro é limitado pelos três planos coordenados: o plano $ xy $, o plano $ xz $ e o plano $ yz $, além do plano dado pela equação $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $. Para isso, vamos precisar entender como esses planos se interceptam e encontrar os pontos onde eles se encontram. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os planos coordenados:
- Plano $ xy $: é o plano onde $ z = 0 $.
- Plano $ xz $: é o plano onde $ y = 0 $.
- Plano $ yz $: é o plano onde $ x = 0 $.
Agora, nosso objetivo é encontrar onde o plano $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $ intercepta cada um desses planos coordenados. Isso nos dará os vértices do tetraedro.
Passo 3
Vamos começar encontrando a interseção do plano $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $ com o **plano $ xy
z = 0 $):
Substituindo $ z = 0 $ na equação do plano:
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos $ x $ e $ y $:
- **Intercepto com o eixo $ x
y = 0 $):
Então, o ponto é $ (1, 0, 0) $.
- **Intercepto com o eixo $ y
x = 0 $):
Então, o ponto é $ (0, 2, 0) $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção do plano $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $ com o **plano $ xz
y = 0 $):
Substituindo $ y = 0 $ na equação do plano:
Encontramos os interceptos:
- **Intercepto com o eixo $ x
z = 0 $):
Então, o ponto é $ (1, 0, 0) $ (já encontrado anteriormente).
- **Intercepto com o eixo $ z
x = 0 $):
Então, o ponto é $ (0, 0, 4) $.
Passo 5
Por último, vamos encontrar a interseção do plano $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $ com o **plano $ yz
x = 0 $):
Substituindo $ x = 0 $ na equação do plano:
Encontramos os interceptos:
- **Intercepto com o eixo $ y
z = 0 $):
Então, o ponto é $ (0, 2, 0) $ (já encontrado anteriormente).
- **Intercepto com o eixo $ z
y = 0 $):
Então, o ponto é $ (0, 0, 4) $ (já encontrado anteriormente).
Passo 6
Agora, temos todos os vértices do tetraedro $ T $:
- $ (1, 0, 0) $
- $ (0, 2, 0) $
- $ (0, 0, 4) $
Além disso, o ponto de origem $ (0, 0, 0) $ também faz parte do tetraedro, pois é a interseção dos três planos coordenados.
Então, os quatro vértices são:
- $ A(0, 0, 0) $
- $ B(1, 0, 0) $
- $ C(0, 2, 0) $
- $ D(0, 0, 4) $
Resposta
O tetraedro $ T $ é formado pelos pontos $ A(0, 0, 0) $, $ B(1, 0, 0) $, $ C(0, 2, 0) $ e $ D(0, 0, 4) $. Ao conectar esses pontos no espaço tridimensional, obtemos o esboço do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano $ 4x + 2y + z - 4 = 0 $.