Sejam x um número real e n um inteiro positivo. Mostre que entre os números x, 2 x, 3 x, ldots,(n-1) x existe um cuja distancia a algum inteiro é, no máximo, 1 / u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, dado um número real $ x $ e um inteiro positivo $ n $, entre os números $ x, 2x, 3x, ···, (n-1)x $ existe pelo menos um que está a uma distância de no máximo $ \frac{1}{u} $ de algum número inteiro. Para resolver isso, vamos usar um conceito da matemática chamado princípio da casa dos pombos. A gente vai precisar entender também sobre partições e como distribuir números em intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nos múltiplos de $ x $: $ x, 2x, 3x, ···, (n-1)x $. São $ n-1 $ números diferentes. Agora, a ideia é olhar para a parte decimal desses múltiplos, ou seja, o que sobra quando a gente tira a parte inteira. Por exemplo, se $ x = 1.3 $, então $ 2x = 2.6 $, e a parte decimal é $ 0.6 $.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo entre 0 e 1 em $ u $ partes iguais. Cada parte terá o tamanho de $ \frac{1}{u} $. Assim, temos intervalos como:
u
Esses são nossos “pombos” e os intervalos são as “casas dos pombos”.

Passo 4

Agora, temos $ n-1 $ múltiplos de $ x $ e $ u $ intervalos. Pelo princípio da casa dos pombos, se $ n-1 > u $, pelo menos dois desses múltiplos de $ x $ terão partes decimais que caem no mesmo intervalo. Mas mesmo que $ n-1 \leq u $, a gente quer garantir que pelo menos um desses múltiplos está próximo de algum inteiro, ou seja, que a parte decimal está perto de 0 ou de 1.

Passo 5

O que queremos mostrar é que pelo menos um desses múltiplos de $ x $ tem sua parte decimal menor ou igual a $ \frac{1}{u} $ ou maior ou igual a $ 1 - \frac{1}{u} $. Isso significa que esse múltiplo está a uma distância de no máximo $ \frac{1}{u} $ de algum inteiro (se a parte decimal é pequena, está perto do inteiro abaixo; se é grande, está perto do inteiro acima).

Passo 6

Como dividimos o intervalo [0,1) em $ u $ partes, pelo princípio da casa dos pombos, se temos $ n-1 $ múltiplos, pelo menos um deles deve cair em cada intervalo. Portanto, pelo menos um múltiplo terá sua parte decimal dentro de $ \frac{1}{u} $ de 0 ou de 1, ou seja, a distância a algum inteiro será de no máximo $ \frac{1}{u} $.

Resposta

Portanto, mostramos que existe pelo menos um múltiplo de $ x $ entre $ x, 2x, 3x, ···, (n-1)x $ cuja distância a algum inteiro é, no máximo, $ \frac{1}{u} $.

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