Calcule integral duplaD x d A para D=(x, y) in R^2 ;(x-1)^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD x,dA
onde
D = (x,y)inR^2 mid (x-1)^2 + y^2 <= 1
Este é um disco de raio 1 centrado em (1,0). Vamos usar mudança de variável para centralizar o disco em (0,0) e explorar a simetria.

Passo 2

Definimos
u = x - 1, v = y,
de modo que o domínio transformado é
D' = (u,v)mid u^2 + v^2 <= 1,
um disco de raio 1 centrado na origem. Além disso x = u + 1 e dA = du,dv. Logo
integral duplaD x,dA = integral duplaD' (u+1),du,dv

Passo 3

Separamos a integral em duas parcelas:
integral duplaD' (u+1),du,dv = integral duplaD' u,du,dv ;+;integral duplaD' 1,du,dv

Passo 4

No primeiro termo, u é função ímpar em relação ao eixo u e o domínio D' é simétrico em u. Logo
integral duplaD' u,du,dv = 0

Passo 5

O segundo termo é simplesmente a área de D', que é um disco de raio 1:
integral duplaD' 1,du,dv = Área(D') = picdot1^2 = pi Á

Resposta

pi

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