Considere todos os cilindros circulares retos para os quais a soma da altura com a circunferência é 30 cm . Qual o raio do cilindro com o maior volume?
(A) 3 cm
(B) 10 cm
(C) 20 cm
(D) 30pi cm
(E) 10pi cm

Passo 1

O enunciado pede o raio do cilindro circular reto de maior volume sob a restrição de que a soma da altura h com a circunferência da base é 30 cm. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável usando cálculo (derivada).

Passo 2

Escrevemos a condição do enunciado como
h + 2pi r = 30,
onde r é o raio. Daí a altura fica
h = 30 - 2pi r

Passo 3

A função volume em termos de r é
V(r) = pi r^2 h = pi r^2 l(30 - 2pi rr) = 30pi r^2 - 2pi^2 r^3
O domínio de interesse é r>=0 e h>=0, isto é, r<= 15/pi.

Passo 4

Para achar o máximo, calculamos a derivada:
V'(r) = ddrl(30pi r^2 - 2pi^2 r^3r) = 60pi r - 6pi^2 r^2 = 6pi r,(10 - pi r)
As soluções de V'(r)=0 são r=0 e r=10/pi.

Passo 5

O ponto r=0 dá volume zero e r=10/pi está no domínio [0,15/pi]. Além disso,
V''(r)=60pi -12pi^2 r,
e em r=10/pi temos V''(10/pi)=60pi -120pi<0, confirmando máximo local.

Passo 6

Portanto, o raio que maximiza o volume é
r = 10pi cm

Resposta

(E) 10pi cm

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