Considere todos os cilindros circulares retos para os quais a soma da altura com a circunferência é 30 cm . Qual o raio do cilindro com o maior volume?
(A) 3 cm
(B) 10 cm
(C) 20 cm
(D)
(E)
(A) 3 cm
(B) 10 cm
(C) 20 cm
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede o raio do cilindro circular reto de maior volume sob a restrição de que a soma da altura
com a circunferência da base é
cm. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável usando cálculo (derivada).
Passo 2
Escrevemos a condição do enunciado como
onde
é o raio. Daí a altura fica
Passo 3
A função volume em termos de
é
O domínio de interesse é
e
, isto é,
.
Passo 4
Para achar o máximo, calculamos a derivada:
As soluções de
são
e
.
Passo 5
O ponto
dá volume zero e
está no domínio
. Além disso,
e em
temos
, confirmando máximo local.
Passo 6
Portanto, o raio que maximiza o volume é
Resposta
(E)
cm