O objetivo desse exercício é mostrar que raiz[n]n 0.
(a) Defina xn=raiz[n]n-1. Como xn >= 0 use o Binômio de Newton para mostrar que n= (1+xn)^n >= n(n-1)2 xn^2.
(b) Conclua que xn 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, definindo
xn = raiz[n]n - 1 >= 0,
temos xnto0. Para isso vamos usar o Teorema do Binômio de Newton aplicado a (1+xn)^n, sabendo que (1+xn)^n = n.

Passo 2

Pelo Binômio de Newton,
(1 + xn)^n = sumk=0^n binomnk xn^k ;>=; binomn2 xn^2 = n(n-1)2,xn^2,
pois todos os termos da soma são não negativos e estamos apenas retendo o termo de ordem k=2. Como (1 + xn)^n = raiz[n]n^,n = n, segue
n ;>=; n(n-1)2,xn^2

Passo 3

Isolando xn^2 na desigualdade anterior, obtemos
xn^2 ;<=; 2nn(n-1) = 2n-1
Como xn>=0, temos
xn ;<=; raiz2,n-1,

Passo 4

Quando ntoinfty, claramente raiz2/(n-1)to0. Pelo fato de 0<= xn<= raiz2/(n-1), o Teorema do Confronto garante que
xn;longrightarrow;0

Resposta

Temos xn = raiz[n]n-1 to 0. Logo raiz[n]nto1.

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