O objetivo desse exercício é mostrar que se
então
.
(a) Suponha
e considere
. Aplique a Desigualdade de Bernoulli aos números
para mostrar que
.
(b) Se
aplique a conclusão do item anterior a
.
(a) Suponha
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um real
,
No item (a) consideramos o caso
e definimos
. Vamos usar a Desigualdade de Bernoulli, que diz que para todo
e inteiro
vale
No item (b) cobrimos
usando o resultado de (a) aplicado a
.
Passo 2
Agora tratamos o caso
. Definimos
que é não negativo pois
. Como
, a Desigualdade de Bernoulli aplicada a
dá
Daí
ou seja
Passo 3
Como
quando
e
, o Teorema do Confronto implica
Portanto
Passo 4
Para
basta observar que
. Do item (a) temos
, ou seja
Invertendo ambos os lados, concluímos também que