O objetivo desse exercício é mostrar que se p>0 então lim n infty raiz[n]p=1.
(a) Suponha p>1 e considere xn=raiz[n]p-1. Aplique a Desigualdade de Bernoulli aos números 1+xn para mostrar que xn 0.
(b) Se 0<p<1 aplique a conclusão do item anterior a 1 / p.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um real p>0,
limntoinftyraiz[n]p=1
No item (a) consideramos o caso p>1 e definimos xn=raiz[n]p-1. Vamos usar a Desigualdade de Bernoulli, que diz que para todo t>=-1 e inteiro n>=1 vale
(1+t)^n>=1+nt
No item (b) cobrimos 0<p<1 usando o resultado de (a) aplicado a 1/p.

Passo 2

Agora tratamos o caso p>1. Definimos
xn = raiz[n]p - 1,
que é não negativo pois raiz[n]p>1. Como (1+xn)^n = p, a Desigualdade de Bernoulli aplicada a t=xn>=0
p = (1+xn)^n >= 1 + nxn
Daí
nxn <= p - 1,
ou seja
xn <= p-1n

Passo 3

Como p-1nto0 quando ntoinfty e 0 <= xn<= p-1n, o Teorema do Confronto implica
xn to 0
Portanto
raiz[n]p = 1 + xn longrightarrow 1

Passo 4

Para 0<p<1 basta observar que 1/p>1. Do item (a) temos raiz[n]1/pto1, ou seja
1raiz[n]p to 1
Invertendo ambos os lados, concluímos também que
raiz[n]p to 1

Resposta

limntoinfty raiz[n]p = 1

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