Mostre que raiz[n]n^2+n 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = raiz[n]n^2+n
tende a 1 quando ntoinfty.
O conteúdo que vamos usar inclui o Teorema do Confronto (squeeze theorem) e propriedades de limites de raízes enésimas e exponenciais.

Passo 2

Note que, para todo inteiro n>=1, temos
n^2+n < n^2+n^2 = 2,n^2,
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1 < raiz[n]n^2+n < raiz[n]2,n^2

Passo 3

Vamos reescrever o termo da direita:
raiz[n]2,n^2 = raiz[n]2,raiz[n]n^2 = 2^1/n;n^2/n

Passo 4

Mostramos que
limntoinfty2^1/n=1
De fato, usando exponencial e logaritmo,
2^1/n = e^ln2n Longrightarrow limntoinftye^ln2n = e^0 = 1

Passo 5

Mostramos que
limntoinftyn^2/n=1
De novo, escrevendo em termos de exponencial:
n^2/n = e^2ln nn Longrightarrow limntoinftye^2ln nn = e^0 = 1,
pois limntoinftytfrac2ln nn=0.

Passo 6

Juntando os resultados, para todo n>=1 vale
1 < an < 2^1/n,n^2/n,
e como o limite da parte de cima é 1 e a de baixo é constante 1, pelo Teorema do Confronto obtemos
limntoinftyan = 1

Resposta

1

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