Se a densidade volumétrica de carga é dada por
, em coordenadas esféricas, determine J. É razoável considerar que J não é uma função de
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a densidade volumétrica de carga dada por
em coordenadas esféricas. O que a gente precisa descobrir é a densidade de corrente
. Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, principalmente a equação de continuidade que relaciona a variação da carga com a corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de continuidade, que é uma expressão fundamental na conservação da carga elétrica. Ela diz que a variação da densidade de carga no tempo mais o divergente da densidade de corrente é igual a zero:
Isso basicamente significa que se a densidade de carga está mudando com o tempo, deve haver uma corrente elétrica que compensa essa mudança.
Passo 3
Como a densidade de carga
depende apenas de
e
, e foi dito para considerar que
não depende de
ou
, podemos assumir que a corrente
tem apenas componente radial. Então, podemos escrever:
onde
é a componente radial da corrente.
Passo 4
Agora, vamos calcular o divergente de
em coordenadas esféricas. A fórmula do divergente para uma
que depende só de
é:
Substituindo isso na equação de continuidade:
Passo 5
Vamos calcular a derivada temporal de
:
Substituindo na equação de continuidade:
Multiplicando tudo por
para simplificar:
Passo 6
Resolvendo para
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Considerando que a corrente não explode quando
(ou seja,
deve ser finita no centro), a constante
deve ser zero. Assim:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A densidade de corrente é dada por