Se a densidade volumétrica de carga é dada por rhonu=(cos omega t) / r^2 C / m^3, em coordenadas esféricas, determine J. É razoável considerar que J não é uma função de theta ou phi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a densidade volumétrica de carga dada por rhonu = cos omega tr^2 , C/m^3 em coordenadas esféricas. O que a gente precisa descobrir é a densidade de corrente J. Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, principalmente a equação de continuidade que relaciona a variação da carga com a corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de continuidade, que é uma expressão fundamental na conservação da carga elétrica. Ela diz que a variação da densidade de carga no tempo mais o divergente da densidade de corrente é igual a zero:
partial rhopartial t + nabla cdot J = 0
Isso basicamente significa que se a densidade de carga está mudando com o tempo, deve haver uma corrente elétrica que compensa essa mudança.

Passo 3

Como a densidade de carga rhonu depende apenas de r e t, e foi dito para considerar que J não depende de theta ou phi, podemos assumir que a corrente J tem apenas componente radial. Então, podemos escrever:
J = Jr(r, t) , er
onde Jr é a componente radial da corrente.

Passo 4

Agora, vamos calcular o divergente de J em coordenadas esféricas. A fórmula do divergente para uma J que depende só de r é:
nabla cdot J = 1r^2 partialpartial r (r^2 Jr)
Substituindo isso na equação de continuidade:
partial rhopartial t + 1r^2 partialpartial r (r^2 Jr) = 0

Passo 5

Vamos calcular a derivada temporal de rhonu:
partial rhopartial t = partialpartial t ( cos omega tr^2 ) = -omega sin omega tr^2
Substituindo na equação de continuidade:
-omega sin omega tr^2 + 1r^2 partialpartial r (r^2 Jr) = 0
Multiplicando tudo por r^2 para simplificar:
-omega sin omega t + partialpartial r (r^2 Jr) = 0

Passo 6

Resolvendo para partialpartial r (r^2 Jr):
partialpartial r (r^2 Jr) = omega sin omega t
Integrando ambos os lados em relação a r:
r^2 Jr = omega sin omega t cdot r + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Considerando que a corrente não explode quando r to 0 (ou seja, J deve ser finita no centro), a constante C deve ser zero. Assim:
r^2 Jr = omega sin omega t cdot r
Dividindo ambos os lados por r^2:
Jr = omega sin omega tr

Resposta

A densidade de corrente é dada por
J = omega sin omega tr , er

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