Considere
e
.
Mostre que
e
são linearmente independentes em
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções y₁(t)=t² e y₂(t)=t|t| são linearmente independentes em [-1,1]. O conteúdo é independência linear de funções e vamos usar a definição de combinação linear nula e analisar y₂ de forma piecewise.
Passo 2
Pela definição, y₁ e y₂ são linearmente independentes se a única solução da equação c₁ y₁(t)+c₂ y₂(t)=0 para todo t∈[-1,1] for c₁=c₂=0.
Passo 3
Para t>0 temos |t|=t, então y₂(t)=t·t=t². A combinação linear fica
o que implica
Passo 4
Para t<0 temos |t|=-t, então y₂(t)=t·(-t)=-t². A combinação linear fica
o que implica
Passo 5
Resolvendo o sistema
obtemos c₁=c₂=0. Portanto, a única combinação linear que anula as duas funções é a trivial, mostrando que y₁ e y₂ são linearmente independentes em [-1,1].
Resposta
As funções y₁(t)=t² e y₂(t)=t|t| são linearmente independentes em [-1,1].