Considere y1(t)=t^2 e y2(t)=t|t|.
Mostre que y1 e y2 são linearmente independentes em [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções y₁(t)=t² e y₂(t)=t|t| são linearmente independentes em [-1,1]. O conteúdo é independência linear de funções e vamos usar a definição de combinação linear nula e analisar y₂ de forma piecewise.

Passo 2

Pela definição, y₁ e y₂ são linearmente independentes se a única solução da equação c₁ y₁(t)+c₂ y₂(t)=0 para todo t∈[-1,1] for c₁=c₂=0.

Passo 3

Para t>0 temos |t|=t, então y₂(t)=t·t=t². A combinação linear fica
(c₁+c₂)t²=0 forall t>0,²
o que implica
c₁+c₂=0

Passo 4

Para t<0 temos |t|=-t, então y₂(t)=t·(-t)=-t². A combinação linear fica
(c₁-c₂)t²=0 forall t<0,²
o que implica
c₁-c₂=0

Passo 5

Resolvendo o sistema
c₁+c₂=0,c₁-c₂=0,
obtemos c₁=c₂=0. Portanto, a única combinação linear que anula as duas funções é a trivial, mostrando que y₁ e y₂ são linearmente independentes em [-1,1].

Resposta

As funções y₁(t)=t² e y₂(t)=t|t| são linearmente independentes em [-1,1].

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