Determine qual é o domínio, a imagem e o período das seguintes funções reais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio, a imagem e o período da função real:
Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudarão a simplificar a expressão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
Sabemos que as funções seno e cosseno estão definidas para todos os números reais. Portanto, não há restrições para $ x $.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da função usando uma identidade trigonométrica importante:
Aplicando essa identidade à nossa função:
Então, a função simplifica para:
Passo 4
Com a função simplificada, vamos determinar a imagem (ou faixa de valores) da função $ \sin 4x $.
Sabemos que a função seno sempre varia entre -1 e 1, ou seja:
Portanto, a imagem da função é o intervalo:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar o período da função $ \sin 4x $.
O período básico da função seno $ \sin x $ é $ 2\pi $. Quando temos uma função da forma $ \sin(kx) $, o período é dado por:
No nosso caso, $ k = 4 $, então:
Resposta
- Domínio: Todos os números reais, ou seja, $ \mathbb{R} $.
- Imagem: O intervalo
. - Período: $ \frac{\pi}{2} $.