Determine qual é o domínio, a imagem e o período das seguintes funções reais:
f(x)=sin 3 x cdot cos x+sin x cdot cos 3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio, a imagem e o período da função real:
f(x) = sin 3x cdot cos x + sin x cdot cos 3x
Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudarão a simplificar a expressão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
Sabemos que as funções seno e cosseno estão definidas para todos os números reais. Portanto, não há restrições para $ x $.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da função usando uma identidade trigonométrica importante:
sin A cdot cos B + sin B cdot cos A = sin(A + B)
Aplicando essa identidade à nossa função:
f(x) = sin 3x cdot cos x + sin x cdot cos 3x = sin(3x + x) = sin 4x
Então, a função simplifica para:
f(x) = sin 4x

Passo 4

Com a função simplificada, vamos determinar a imagem (ou faixa de valores) da função $ \sin 4x $.
Sabemos que a função seno sempre varia entre -1 e 1, ou seja:
sin 4x
Portanto, a imagem da função é o intervalo:
-1 <= sin 4x <= 1

Passo 5

Por fim, vamos encontrar o período da função $ \sin 4x $.
O período básico da função seno $ \sin x $ é $ 2\pi $. Quando temos uma função da forma $ \sin(kx) $, o período é dado por:
sin 4x í
No nosso caso, $ k = 4 $, então:
sin x í

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, ou seja, $ \mathbb{R} $.
  • Imagem: O intervalo R .
  • Período: $ \frac{\pi}{2} $.

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