Considere a tractriz dada pela função beta(t)=(sin t, cos t+ln (tan t2)), com t in(0, pi). Prove que
beta^prime(t) neq 0, para todo t neq pi2

Passo 1

Resumo da questão: Temos uma função vetorial que define uma tractriz, dada por beta(t) = (sin t, cos t + ln(tan t2)), onde t está no intervalo (0, pi). Precisamos provar que a derivada dessa função, beta^prime(t), nunca é o vetor zero, exceto quando t = pi2. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções vetoriais e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial beta(t). A derivada de um vetor função é obtida derivando cada uma de suas componentes. Então, temos:
beta^prime(t) = (cos t, -sin t + ddt ln(tan t2))
Agora, vamos calcular a derivada de ln(tan t2).

Passo 3

Para derivar ln(tan t2), aplicamos a regra da cadeia. Sabemos que:
ddt ln(u) = 1u cdot dudt
Nesse caso, u = tan t2, então:
dudt = sec^2 t2 cdot 12 = sec^2 t22
Portanto:
ddt ln(tan t2) = 1tan t2 cdot sec^2 t22 = 12 sin t
Simplificando, temos:
ddt ln(tan t2) = 1sin t

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de beta^prime(t):
beta^prime(t) = (cos t, -sin t + 1sin t)
Agora, precisamos mostrar que esse vetor derivada nunca é o vetor zero, exceto quando t = pi2.

Passo 5

Vamos analisar as componentes de beta^prime(t):
  1. Primeira componente: cos t
    • É zero apenas quando t = pi2.
  2. Segunda componente: -sin t + 1sin t
    • Mesmo que t = pi2, temos -sin pi2 + 1sin pi2 = -1 + 1 = 0.
Portanto, o vetor derivada beta^prime(t) só pode ser o vetor zero quando ambas as componentes são zero simultaneamente, o que ocorre apenas em t = pi2. Para todos os outros valores de t, pelo menos uma das componentes não é zero, garantindo que beta^prime(t) neq 0.

Resposta

Para todo t neq pi2, beta^prime(t) neq 0.

Exercícios relacionados