Considere a tractriz dada pela função
,
. Prove que
, para todo
Passo 1
Resumo da questão: Temos uma função vetorial que define uma tractriz, dada por
, onde
está no intervalo
. Precisamos provar que a derivada dessa função,
, nunca é o vetor zero, exceto quando
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções vetoriais e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial
. A derivada de um vetor função é obtida derivando cada uma de suas componentes. Então, temos:
Agora, vamos calcular a derivada de
.
Passo 3
Para derivar
, aplicamos a regra da cadeia. Sabemos que:
Nesse caso,
, então:
Portanto:
Simplificando, temos:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de
:
Agora, precisamos mostrar que esse vetor derivada nunca é o vetor zero, exceto quando
.
Passo 5
Vamos analisar as componentes de
:
-
Primeira componente:
- É zero apenas quando
.
- É zero apenas quando
-
Segunda componente:
- Mesmo que
, temos .
- Mesmo que
Portanto, o vetor derivada
só pode ser o vetor zero quando ambas as componentes são zero simultaneamente, o que ocorre apenas em
. Para todos os outros valores de
, pelo menos uma das componentes não é zero, garantindo que
.
Resposta
Para todo
,
.