Considere a tractriz dada pela função
,
. Prove que
O comprimento do segmento de reta tangente compreendido entre
e o eixo dos
é constante igual a 1 .
O comprimento do segmento de reta tangente compreendido entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva chamada tractriz, representada pela função
, onde
varia entre
e
. A gente precisa provar que o comprimento do segmento da reta tangente que vai de um ponto nessa curva até o eixo dos
é sempre igual a
.
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a reta tangente, e depois calcular a distância entre pontos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a reta tangente à curva
num ponto específico. Para isso, precisamos calcular a derivada da função
em relação a
, que nos dá a direção da tangente.
A derivada de
é:
Vamos calcular a segunda componente:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, podemos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. A inclinação
é dada pela razão das componentes da derivada:
Sabendo a inclinação, podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Onde
e
.
Substituindo:
Passo 4
Queremos encontrar onde essa reta tangente cruza o eixo dos
. No eixo dos
, o valor de
é
. Então, vamos substituir
na equação da reta tangente para encontrar a coordenada
desse ponto de interseção.
Substituindo
:
Assim:
Portanto, o ponto de interseção com o eixo dos
é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento do segmento de reta tangente entre o ponto
e o ponto de interseção com o eixo dos
. Temos os dois pontos:
- Ponto na curva:
- Ponto na interseção com
:
A distância entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Aplicando aos nossos pontos:
Resposta
O comprimento do segmento de reta tangente entre
e o eixo dos
é sempre igual a
.