Considere a tractriz dada pela função beta(t)=(sin t, cos t+ln (tan t2)), com t in(0, pi). Prove que
O comprimento do segmento de reta tangente compreendido entre beta(t) e o eixo dos y é constante igual a 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva chamada tractriz, representada pela função beta(t)=(sin t, cos t+ln (tan t2)), onde t varia entre 0 e pi. A gente precisa provar que o comprimento do segmento da reta tangente que vai de um ponto nessa curva até o eixo dos y é sempre igual a 1.
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a reta tangente, e depois calcular a distância entre pontos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a reta tangente à curva beta(t) num ponto específico. Para isso, precisamos calcular a derivada da função beta(t) em relação a t, que nos dá a direção da tangente.
A derivada de beta(t) é:
beta'(t) = (ddt sin t, ddt [ cos t + ln ( tan t2 ) ] ) = ( cos t, -sin t + ddt ln ( tan t2 ) )
Vamos calcular a segunda componente:
ddt ln ( tan t2 ) = 1tan t2 cdot ddt tan t2 = 1tan t2 cdot ( 1cos^2 t2 cdot 12 ) = 12 sin t2 cos t2 = 1sin t
Então, a derivada fica:
beta'(t) = ( cos t, -sin t + 1sin t ) = ( cos t, 1 - sin^2 tsin t ) = ( cos t, cos^2 tsin t )

Passo 3

Agora que temos a derivada beta'(t), podemos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto beta(t). A inclinação m é dada pela razão das componentes da derivada:
m = dydx = cos^2 tsin tcos t = cos tsin t = cot t
Sabendo a inclinação, podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y - y0 = m (x - x0)
Onde (x0, y0) = beta(t) = (sin t, cos t + ln ( tan t2 )) e m = cot t.
Substituindo:
y - ( cos t + ln ( tan t2 ) ) = cot t (x - sin t)

Passo 4

Queremos encontrar onde essa reta tangente cruza o eixo dos y. No eixo dos y, o valor de x é 0. Então, vamos substituir x = 0 na equação da reta tangente para encontrar a coordenada y desse ponto de interseção.
Substituindo x = 0:
y - ( cos t + ln ( tan t2 ) ) = cot t (0 - sin t) = -cot t cdot sin t = -cos t
Assim:
y = cos t + ln ( tan t2 ) - cos t = ln ( tan t2 )
Portanto, o ponto de interseção com o eixo dos y é (0, ln ( tan t2 )).

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento do segmento de reta tangente entre o ponto beta(t) e o ponto de interseção com o eixo dos y. Temos os dois pontos:
  • Ponto na curva: (sin t, cos t + ln ( tan t2 ))
  • Ponto na interseção com y: (0, ln ( tan t2 ))
A distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada pela fórmula:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando aos nossos pontos:
d = raiz(0 - sin t)^2 + ( ln ( tan t2 ) - ( cos t + ln ( tan t2 ) ) )^2 = raizsin^2 t + (-cos t)^2 = raizsin^2 t + cos^2 t = raiz1 = 1

Resposta

O comprimento do segmento de reta tangente entre beta(t) e o eixo dos y é sempre igual a 1.

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