Considere a trajetória
. Determine o vetor velocidade em instant genérico
.
Passo 1
O enunciado nos dá a trajetória no tempo
e pede o vetor velocidade em um instantâneo genérico
.
Informações fornecidas:
-
. - A incógnita é o tempo
, que é a variável independente da trajetória. - Pedido: determinar o vetor velocidade em instante genérico
.
Passo 2
Conceito útil (definição que vamos aplicar): o vetor velocidade
é a derivada da posição em relação ao tempo. Para uma função vetorial com componentes, a derivada é feita componente a componente. Em fórmulas:
Explicando: cada componente escala sozinha — não há mistério vetorial aqui; basta derivar as três funções escalares que aparecem nas componentes.
Passo 3
Derivada da primeira componente
.
- Regra usada: derivada de potência
. - Aplicando com
:
Passo 4
Derivada da segunda componente
.
- Regra usada: regra da cadeia para função composta
. A derivada é . - Aqui
e . - Portanto:
Observação prática: isso só exige lembrar que
e então multiplicar pela derivada interna.
Passo 5
Derivada da terceira componente
.
- Regra usada: novamente regra da cadeia para exponencial
. A derivada é . - Aqui
e . - Portanto:
Passo 6
Juntando as três derivadas componentes, obtemos o vetor velocidade: