Considere a trajetória \vec{r}(t)=\left\langle t^{2}, \ln (1+t), e^{-t}\right\rangle. Determine o vetor velocidade em instant genérico \boldsymbol{t}.

Passo 1

O enunciado nos dá a trajetória no tempo \vec{r}(t) e pede o vetor velocidade em um instantâneo genérico t.
Informações fornecidas:
  • \vec{r}(t)=\left\langle t^{2},\\ \ln(1+t),\\ e^{-t}\right\rangle.
  • A incógnita é o tempo \,t, que é a variável independente da trajetória.
  • Pedido: determinar o vetor velocidade em instante genérico \,t.

Passo 2

Conceito útil (definição que vamos aplicar): o vetor velocidade \vec{v}(t) é a derivada da posição em relação ao tempo. Para uma função vetorial com componentes, a derivada é feita componente a componente. Em fórmulas:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\left\langle \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr),\\ \frac{d}{dt}\bigl(\ln(1+t)\bigr),\\ \frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\bigr)\right\rangle.
Explicando: cada componente escala sozinha — não há mistério vetorial aqui; basta derivar as três funções escalares que aparecem nas componentes.

Passo 3

Derivada da primeira componente x(t)=t^{2}.
  • Regra usada: derivada de potência \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n t^{n-1}.
  • Aplicando com n=2:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.

Passo 4

Derivada da segunda componente y(t)=\ln(1+t).
  • Regra usada: regra da cadeia para função composta \ln(u(t)). A derivada é \dfrac{d}{dt}\ln(u(t))=\dfrac{u'(t)}{u(t)}.
  • Aqui u(t)=1+t e u'(t)=1.
  • Portanto:
\frac{d}{dt}\bigl(\ln(1+t)\bigr)=\frac{1}{1+t}.
Observação prática: isso só exige lembrar que \dfrac{d}{dx}\ln x = 1/x e então multiplicar pela derivada interna.

Passo 5

Derivada da terceira componente z(t)=e^{-t}.
  • Regra usada: novamente regra da cadeia para exponencial e^{u(t)}. A derivada é \dfrac{d}{dt}e^{u(t)}=e^{u(t)}\,u'(t).
  • Aqui u(t)=-t e u'(t)=-1.
  • Portanto:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\bigr)=e^{-t}\cdot(-1)=-e^{-t}.

Passo 6

Juntando as três derivadas componentes, obtemos o vetor velocidade:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\left\langle 2t,\\ \frac{1}{1+t},\\\ -e^{-t}\right\rangle.

Resposta

\displaystyle \vec{v}(t)=\left\langle 2t,\\ \frac{1}{1+t},\\\ -e^{-t}\right\rangle

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