Questão 04

Calcule, se existir:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite quando (x,y) tende para (0,0) da função
\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações do enunciado:
  • Função dada: \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
  • Ponto para onde se aproxima: (x,y)\to(0,0).
    A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

Vamos escolher um método simples e robusto: usar coordenadas polares. Motivo: em duas variáveis, passar para coordenadas polares torna evidente o papel da distância ao ponto (0,0) (o raio r) e muitas expressões ficam fáceis de analisar quando r\to0. Alternativamente existe uma desigualdade direta em coordenadas cartesianas que também resolve o problema; vou mostrar as duas abordagens para você fixar bem.

Passo 3

Breve explicação das coordenadas polares (aula rápida):
  • Em coordenadas polares define-se \displaystyle x=r\cos\theta e \displaystyle y=r\sin\theta.
  • Aqui \displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 é a distância do ponto (x,y) à origem e \theta é o ângulo que o vetor faz com o eixo x.
  • Aproximar (x,y)\to(0,0) é equivalente a fazer \displaystyle r\to0^{+} com \theta qualquer (não importa o valor de \theta).
    Esta mudança de variáveis é válida para estudar limites na origem porque expressa a função em termos de r e \theta.

Passo 4

Substituindo \displaystyle x=r\cos\theta e \displaystyle y=r\sin\theta na função:
\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{(r\cos\theta)^{3}}{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}} = \frac{r^{3}\cos^{3}\theta}{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}.
Como \displaystyle \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, simplifica-se para
\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}=r\cos^{3}\theta.

Passo 5

Análise do limite na forma polar:
  • Temos \displaystyle \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}=r\cos^{3}\theta.
  • Para todo \theta vale |\cos^{3}\theta|\le1, logo
|r\cos^{3}\theta|\le r.
  • Como \displaystyle r\to0^{+} quando (x,y)\to(0,0), pelo teorema do confronto (squeeze) temos r\cos^{3}\theta\to0.
  • A conclusão é que o valor da expressão tende para 0 independentemente de \theta, o que prova que o limite existe.

Passo 6

Abordagem alternativa (desigualdade em cartesiano), para reforçar a intuição:
  • Note que \displaystyle x^{2}+y^{2}\ge x^{2}, portanto, quando x\neq0,
\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le\frac{|x^{3}|}{x^{2}}=|x|.
  • Se x=0 então o numerador é zero e a expressão vale 0, portanto a desigualdade vale também nesse caso por continuidade do argumento.
  • Como (x,y)\to(0,0) implica x\to0, segue que |x|\to0 e pelo confronto \displaystyle \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\to0.
    Essa via mostra de forma direta que o módulo da função é limitado por |x|, que vai para zero.

Passo 7

Resumo concluído: ambas as abordagens (polares e desigualdade) mostram que a função tende para 0 quando (x,y)\to(0,0). Portanto o limite existe.

Resposta

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