Ponto para onde se aproxima: (x,y)\to(0,0).
A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Vamos escolher um método simples e robusto: usar coordenadas polares. Motivo: em duas variáveis, passar para coordenadas polares torna evidente o papel da distância ao ponto (0,0) (o raio r) e muitas expressões ficam fáceis de analisar quando r\to0. Alternativamente existe uma desigualdade direta em coordenadas cartesianas que também resolve o problema; vou mostrar as duas abordagens para você fixar bem.
Passo 3
Breve explicação das coordenadas polares (aula rápida):
Em coordenadas polares define-se \displaystyle x=r\cos\theta e \displaystyle y=r\sin\theta.
Aqui \displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 é a distância do ponto (x,y) à origem e \theta é o ângulo que o vetor faz com o eixo x.
Aproximar (x,y)\to(0,0) é equivalente a fazer \displaystyle r\to0^{+} com \theta qualquer (não importa o valor de \theta).
Esta mudança de variáveis é válida para estudar limites na origem porque expressa a função em termos de r e \theta.
Passo 4
Substituindo \displaystyle x=r\cos\theta e \displaystyle y=r\sin\theta na função:
Se x=0 então o numerador é zero e a expressão vale 0, portanto a desigualdade vale também nesse caso por continuidade do argumento.
Como (x,y)\to(0,0) implica x\to0, segue que |x|\to0 e pelo confronto \displaystyle \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\to0.
Essa via mostra de forma direta que o módulo da função é limitado por |x|, que vai para zero.
Passo 7
Resumo concluído: ambas as abordagens (polares e desigualdade) mostram que a função tende para 0 quando (x,y)\to(0,0). Portanto o limite existe.