Questão 03
Considere:
f(x, y)=x^{3} y^{2}+5 x y^{4}
Determine o grau de homogeneidade.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}y^{2}+5xy^{4}
e pede para determinar o grau de homogeneidade da função.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a soma de dois monômios: x^{3}y^{2} e 5xy^{4}.
  • Não há outras condições ou restrições sobre x e y no enunciado.

Passo 2

O que significa “ser homogênea” e como testar isso (aula rápida e prática).
Uma função de duas variáveis f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo escalar t,
f(tx,ty)=t^{k}f(x,y).
Aqui:
  • t é um número real arbitrário (o fator de escala).
  • k é o grau de homogeneidade que queremos encontrar (pode ser inteiro, fracionário, etc.).
    Na prática, para polinômios, é mais simples: cada monômio x^{a}y^{b} tem grau a+b. Se todos os monômios que aparecem na soma tiverem o mesmo grau k, então o polinômio é homogêneo de grau k.

Passo 3

Calcular o grau de cada monômio da função (definição aplicada).
  • Para o monômio x^{3}y^{2}: o grau é a soma dos expoentes de x e y,
3+2=5.
  • Para o monômio 5xy^{4}: o coeficiente 5 não altera o grau; os expoentes são 1 em x e 4 em y, então o grau é
1+4=5.

Passo 4

Conclusão a partir dos graus dos monômios.
Como ambos os monômios têm o mesmo grau 5, a função é homogênea de grau 5. Vou demonstrar algebricamente usando a definição de homogeneidade para consolidar o entendimento.

Passo 5

Verificação direta pela propriedade de escala (passo a passo algébrico).
Calcular f(tx,ty):
\begin{aligned} f(tx,ty) &= (tx)^{3}(ty)^{2}+5\,(tx)(ty)^{4} \\\ &= t^{3}x^{3}\,t^{2}y^{2}+5\,t x\,t^{4}y^{4} \\\ &= t^{5}x^{3}y^{2}+5\,t^{5}xy^{4} \\\ &= t^{5}\bigl(x^{3}y^{2}+5xy^{4}\bigr) \\\ &= t^{5}f(x,y). \end{aligned}
Cada passo explicado:
  • (tx)^{3}=t^{3}x^{3} e (ty)^{2}=t^{2}y^{2} por propriedades de potências.
  • Produto dos fatores t^{3} e t^{2} t^{5}.
  • O mesmo para o segundo termo: t\cdot t^{4}=t^{5}.
  • Fatorando t^{5} resta exatamente f(x,y), portanto a definição é satisfeita com k=5.

Passo 6

Exemplo numérico para reforçar (confirmação concreta).
Escolhendo x=1, y=2 e t=3:
\begin{aligned} f(1,2) &= 1^{3}\cdot2^{2}+5\cdot1\cdot2^{4} = 1\cdot4+5\cdot16 = 4+80 = 84,\\\ f(3\cdot1,3\cdot2)=f(3,6) &= 3^{3}\cdot6^{2}+5\cdot3\cdot6^{4} = 27\cdot36+15\cdot1296 = 972+19440 = 20412. \end{aligned}
Agora t^{5}f(1,2)=3^{5}\cdot84=243\cdot84=20412, que coincide com f(3,6). Confirmação numérica da homogeneidade de grau 5.

Passo 7

Resumo final e dica rápida para a prova.
  • Para polinômios, apenas some os expoentes de cada monômio; se todos derem o mesmo número, esse é o grau de homogeneidade.
  • Coeficientes numéricos (como 5) não afetam o grau.

Resposta

Grau de homogeneidade: 5

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