Questão 03
Considere:
Determine o grau de homogeneidade.
Considere:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o grau de homogeneidade da função.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é a soma de dois monômios:
e . - Não há outras condições ou restrições sobre
e no enunciado.
Passo 2
O que significa “ser homogênea” e como testar isso (aula rápida e prática).
Uma função de duas variáveis é homogênea de grau
se, para todo escalar
,
Uma função de duas variáveis
Aqui:
-
é um número real arbitrário (o fator de escala). -
é o grau de homogeneidade que queremos encontrar (pode ser inteiro, fracionário, etc.).
Na prática, para polinômios, é mais simples: cada monômiotem grau . Se todos os monômios que aparecem na soma tiverem o mesmo grau , então o polinômio é homogêneo de grau .
Passo 3
Calcular o grau de cada monômio da função (definição aplicada).
- Para o monômio
: o grau é a soma dos expoentes de e ,
- Para o monômio
: o coeficiente não altera o grau; os expoentes são em e em , então o grau é
Passo 4
Conclusão a partir dos graus dos monômios.
Como ambos os monômios têm o mesmo grau , a função é homogênea de grau
. Vou demonstrar algebricamente usando a definição de homogeneidade para consolidar o entendimento.
Como ambos os monômios têm o mesmo grau
Passo 5
Verificação direta pela propriedade de escala (passo a passo algébrico).
Calcular :
Calcular
Cada passo explicado:
-
e por propriedades de potências. - Produto dos fatores
e dá . - O mesmo para o segundo termo:
. - Fatorando
resta exatamente , portanto a definição é satisfeita com .
Passo 6
Exemplo numérico para reforçar (confirmação concreta).
Escolhendo ,
e
:
Escolhendo
Agora
, que coincide com
. Confirmação numérica da homogeneidade de grau
.
Passo 7
Resumo final e dica rápida para a prova.
- Para polinômios, apenas some os expoentes de cada monômio; se todos derem o mesmo número, esse é o grau de homogeneidade.
- Coeficientes numéricos (como
) não afetam o grau.
Resposta
Grau de homogeneidade: