Um micro-ondas trabalha com a frequência de 2,45 \mathrm{Ghz}. (a) Determine o comprimento de onda vinculado a esta frequência. (b) Qual seria a largura necessária para conter 3 ondas de campo elétrico completas. (c) Se o micro-ondas for construído com 5 cm a mais (por erro), qual deveria ser a frequência para que ainda fosse possível conter 3 ondas de campo elétrico?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular o comprimento de onda associado à frequência dada.
  • (b) Calcular a largura (distância) necessária para conter 3 ondas completas do campo elétrico.
  • (c) Se a largura ficar 5 cm maior por erro, encontrar a nova frequência para que ainda caibam 3 ondas completas.
Informações dadas e constantes que vou usar (peguei a frequência do enunciado):
  • Frequência: \,f=2,45\times10^{9}\\ \mathrm{Hz} (ou \,2,45\\ \mathrm{GHz}).
  • Aumento por erro: 5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Vou assumir que as ondas viajam na cavidade com a velocidade aproximada da luz no vácuo/ar: \,c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Entendendo a relação fundamental (a “aula rápida” necessária).
  • A relação entre velocidade da onda, comprimento de onda e frequência é
c=\lambda f,
onde:
  • \,c é a velocidade da onda (aqui \,3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • \,\lambda é o comprimento de onda (o que queremos em (a)),
  • \,f é a frequência (dada).
  • Para encontrar \,\lambda isolamos na fórmula:
\lambda=\frac{c}{f}.
Isto significa: comprimento de onda = velocidade da onda dividido pela frequência. É simples: se a frequência sobe, a onda fica mais curta; se a velocidade sobe, a onda fica mais longa.

Passo 3

Cálculo do item (a) — comprimento de onda.
  • Substituindo:
\lambda=\frac{3{,}00\times10^{8}}{2{,}45\times10^{9}}\\ \mathrm{m}.
  • Faço a divisão por partes: \dfrac{3{,}00}{2{,}45}=1{,}2244897959\ldots e o fator de potência é 10^{8-9}=10^{-1}. Logo
\lambda=1{,}2244897959\times10^{-1}\\ \mathrm{m}=0{,}1224489796\\ \mathrm{m}.
  • Em centímetros: 0{,}1224489796\\ \mathrm{m}\times100=12{,}24489796\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas decimais em cm): \lambda\approx0{,}122\\ \mathrm{m}=12{,}24\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Cálculo do item (b) — largura necessária para conter 3 ondas completas.
  • Se uma onda tem comprimento \lambda, três ondas ocupam
W=3\lambda.
  • Usando o \lambda calculado:
W=3\times0{,}1224489796\\ \mathrm{m}=0{,}3673469388\\ \mathrm{m}.
  • Em centímetros: 0{,}3673469388\\ \mathrm{m}\times100=36{,}73469388\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondando de forma prática: W\approx0{,}367\\ \mathrm{m}=36{,}73\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Cálculo do item (c) — nova frequência se a largura for 5 cm maior.
  • Nova largura (por erro):
L = W + 0{,}05\\ \mathrm{m}=0{,}3673469388+0{,}05=0{,}4173469388\\ \mathrm{m}.
  • Para ainda caberem 3 ondas completas, o novo comprimento de onda tem que ser
\lambda'=\frac{L}{3}.
  • A nova frequência será
f'=\frac{c}{\lambda'}=\frac{c}{L/3}=\frac{3c}{L}.
  • Substituindo numericamente:
f'=\frac{3\times3{,}00\times10^{8}}{0{,}4173469388}\\ \mathrm{Hz} =\frac{9{,}00\times10^{8}}{0{,}4173469388}\\ \mathrm{Hz} \approx2{,}156847\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
  • Em unidades práticas: f'\approx2{,}16\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}=2{,}16\\ \mathrm{GHz}.

Resposta

(a) \lambda=0{,}122\\ \mathrm{m}=12{,}24\\ \mathrm{cm}
(b) W=0{,}367\\ \mathrm{m}=36{,}73\\ \mathrm{cm}
(c) f'\approx2{,}16\\ \mathrm{GHz}=2{,}16\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}

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