Considere a transferência de calor em regime permanente entre duas placas paralelas com temperaturas constantes, \mathrm{T}_{1}=300 \mathrm{~K} e \mathrm{T}_{2}=200 \mathrm{~K}, que estão separadas por uma distância de 1 cm . Considere que as superfícies são corpos negros ( \varepsilon= 1) e determine a taxa de transferência de calor entre as placas por unidade de área, assumindo que o espaço entre as placas seja preenchido por:
poliuretano;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Temperaturas das placas: \mathrm{T}_{1}=300\\ \mathrm{K} e \mathrm{T}_{2}=200\\ \mathrm{K}.
  • Separação entre as placas: L=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • As superfícies são corpos negros ( \varepsilon=1).
  • O espaço entre as placas está preenchido por poliuretano.
  • O que se pede: determinar a taxa de transferência de calor entre as placas por unidade de área (fluxo de calor por área, que denotarei por q''), assumindo o preenchimento por poliuretano.

Passo 2

Identificar o modo físico de transporte de calor aplicável e a equação a usar (aqui apenas identifico, sem resolver ainda).
  • Quando o intervalo entre placas é preenchido por um sólido (poliuretano), o transporte de calor em regime permanente unidimensional é, principalmente, por condução através do material entre as placas.
  • A lei que governa condução unidimensional em regime estacionário e com propriedades constantes é a lei de Fourier, que em forma simples dá o fluxo de calor por unidade de área:
q'' = -k\,\frac{dT}{dx}.
  • Para um gradiente linear (duas superfícies à temperatura fixa, material homogêneo e espessura L), a versão útil é
q'' = k\,\frac{T_1-T_2}{L},
onde:
  • q'' é o fluxo de calor por unidade de área ( \mathrm{W\,m^{-2}}),
  • k é a condutividade térmica do material ( \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}),
  • T_1 e T_2 são as temperaturas das placas ( \mathrm{K}),
  • L é a distância entre placas ( \mathrm{m}).
  • Na prática, como o espaço é preenchido por poliuretano, usaremos essa expressão para calcular q''.

Passo 3

Escolher e justificar o valor de k para o poliuretano e preparar a conta.
  • O enunciado não fornece a condutividade térmica do poliuretano, então é necessário usar um valor típico. Poliuretano usado como isolante (espuma rígida) tem condutividade térmica tipicamente na faixa aproximada de 0,02 a 0,04\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}. Vou adotar um valor representativo e conservador:
k = 0,03\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
  • Esse valor é um número típico para poliuretano isolante; se no teu exame houver um valor diferente para k, basta substituir na expressão do passo anterior.
  • Agora aplicar a fórmula com os dados:
T_1-T_2 = 300 - 200 = 100\\ \mathrm{K}, \qquad L = 0,01\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo em \displaystyle q'' = k\,\frac{T_1-T_2}{L}:
q'' = 0,03\cdot\frac{100}{0,01}.

Passo 4

Fazer as contas passo a passo e acompanhar as unidades.
  • Calcular a razão de temperaturas pela espessura:
\frac{T_1-T_2}{L}=\frac{100}{0,01}=10000\\ \mathrm{K\,m^{-1}}.
  • Multiplicando por k:
q''=0,03\times10000=300\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Verificação das unidades: \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}\times\mathrm{K\,m^{-1}}=\mathrm{W\,m^{-2}}, que é consistente com fluxo por unidade de área.

Passo 5

Comentário didático curto para entender a escolha do modelo e comparação com radiação (útil para a prova).
  • Se o espaço estivesse em vácuo (ou ar rarefeito), haveria troca radiativa entre superfícies negras dada por:
q''_{\text{rad}}=\sigma\left(T_1^{4}-T_2^{4}\right),
onde \sigma=5,67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}} é a constante de Stefan–Boltzmann. Para referência rápida, esse termo valeria (aproximadamente)
q''_{\text{rad}}\approx 5,67\times10^{-8}\times\big(300^{4}-200^{4}\big)\approx369\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Isso mostra que, numericamente, a ordem de grandeza da radiação entre placas negras em vácuo é comparável ao fluxo por condução através de poliuretano com k\approx0,03. Porém, quando o espaço é preenchido por um sólido opaco como poliuretano, a radiação direta entre superfícies é efetivamente suprimida (a energia radiativa é absorvida/espalhada no material) e o transporte macroscópico principal passa a ser a condução. Por isso a resposta pedida (poliuretano no entreferro) usa a lei de Fourier.

Resposta

q''=300\\ \mathrm{W\,m^{-2}}

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