Considere a transferência de massa unidimensional para uma mistura de oxigênio molecular e dióxido de carbono a 20^{\circ} \mathrm{C} e uma pressão total de 2 \mathrm{~atm} . \mathrm{O}_{2} será chamado de gás (A) e o \mathrm{CO}_{2} será o gás (B). Pelas condições: \mathrm{x}_{\mathrm{A}}=0,25 ; \mathrm{v}_{\mathrm{A}}=0,17 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} ; \mathrm{v}_{\mathrm{B}}=-0,03 \mathrm{cm} / \mathrm{s}. Dado: \mathrm{R}=82,05 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~atm} / \mathrm{gmol} \mathrm{K}. Calcule: a ) \mathrm{v}; b) \mathrm{v}^{*}; c) J_{A}^{*}

Passo 1

O enunciado fornece uma mistura binária de gases a 20^\circ\mathrm{C} e pressão total 2\\ \mathrm{atm}. As informações numéricas dadas são:
  • Fração molar de A (oxigénio): \mathrm{x}_{A}=0,25.
  • Velocidade de A: \mathrm{v}_{A}=0,17\\ \mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Velocidade de B: \mathrm{v}_{B}=-0,03\\ \mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Constante dos gases: R=82,05\\ \mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{atm}\,\mathrm{gmol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Temperatura: T=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
    O enunciado pede explicitamente:
    a) \mathrm{v} (uma velocidade média a determinar);
    b) \mathrm{v}^{*} (uma quantidade relacionada com \mathrm{v} que requer o uso de R,P,T);
    c) J_{A}^{*} (um fluxo molar associado ao componente A, também dependente de c=\dfrac{P}{RT}).

Passo 2

Entender as quantidades e as relações que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas).
  • A velocidade média molar \mathrm{v} (molar-average velocity) é a média ponderada das velocidades das espécies pela fração molar. Intuitivamente: se 25\% das moléculas são A movendo-se rápido e 75\% são B movendo-se mais devagar (ou no sentido oposto), a velocidade média é a soma ponderada.
  • A concentração total molar \;c\; da mistura (em \mathrm{gmol/cm^{3}}) é dada pela equação dos gases ideais:
c=\frac{P}{R\,T},
onde P é a pressão total, R é a constante dos gases na unidade dada e T a temperatura em kelvin. Vou calcular c porque tanto \mathrm{v}^{*} quanto J_{A}^{*} são fluxos molares que exigem conhecer c.
  • Relação entre fluxos e velocidades: o fluxo molar de A relativo ao referencial fixo é N_A = c\,x_A\,\mathrm{v}_A. Também se pode escrever N_A = c\,x_A\,\mathrm{v} + J_A^{*}, onde J_A^{*} é o fluxo difusivo molar de A (referido à média molar). Deste último
J_A^{*} = c\,x_A(\mathrm{v}_A-\mathrm{v}).
  • Finalmente, a quantidade \mathrm{v}^{*} pedida costuma ser o fluxo molar total (molar flux) c\,\mathrm{v} — isto é, a velocidade média multiplicada pela concentração total, resultando numa taxa molar por área. Vou usar essa interpretação porque é a que faz sentido dimensionalmente (usa R e produz um fluxo molar).

Passo 3

Calcular a concentração molar total c com a equação dos gases ideais.
c=\frac{P}{R\,T}.
Substituindo P=2\\ \mathrm{atm}, R=82{,}05\\ \mathrm{cm^{3}\,atm\,gmol^{-1}\,K^{-1}} e T=293{,}15\\ \mathrm{K}:
c=\frac{2}{82{,}05\cdot 293{,}15}=\frac{2}{24052{,}9575}\approx 8{,}318\times 10^{-5}\\ \mathrm{gmol}\,\mathrm{cm}^{-3}.
Comentário rápido: c está em \mathrm{gmol/cm^{3}} porque usamos R em \mathrm{cm^{3}\,atm\,gmol^{-1}\,K^{-1}} e P em atm.

Passo 4

Calcular a velocidade média molar \mathrm{v} usando a média ponderada por frações molares.
A fração molar de B é \mathrm{x}_{B}=1-\mathrm{x}_{A}=1-0,25=0,75. A fórmula:
\mathrm{v}=x_A\,\mathrm{v}_A + x_B\,\mathrm{v}_B.
Substituindo os valores:
\mathrm{v}=0,25\cdot 0,17 + 0,75\cdot(-0,03)=0,0425-0,0225=0,02\\ \mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}.
Interpretação breve: a mistura como um todo avança a 0,02\\ \mathrm{cm/s} para o sentido positivo (os sinais das velocidades individuais já indicavam direções).

Passo 5

Calcular \mathrm{v}^{*} como o fluxo molar total (concentração vezes velocidade média):
\mathrm{v}^{*}=c\,\mathrm{v}.
Usando c\approx 8{,}318\times 10^{-5}\\ \mathrm{gmol/cm^{3}} e \mathrm{v}=0,02\\ \mathrm{cm/s}:
\mathrm{v}^{*}=8{,}318\times 10^{-5}\cdot 0,02 =1{,}6636\times 10^{-6}\\ \mathrm{gmol}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}.
Nota: as unidades ficam \mathrm{gmol/(cm^{2}\,s)}, coerentes com um fluxo molar por área.

Passo 6

Calcular J_{A}^{*} (fluxo difusivo molar de A) usando a relação
J_A^{*}=c\,x_A(\mathrm{v}_A-\mathrm{v}).
Primeiro calcular a diferença de velocidades:
\mathrm{v}_A-\mathrm{v}=0,17-0,02=0,15\\ \mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}.
Agora aplicar a fórmula com c e x_A:
J_A^{*}=8{,}318\times 10^{-5}\cdot 0,25\cdot 0,15 =8{,}318\times 10^{-5}\cdot 0,0375 \approx 3{,}119\times 10^{-6}\\ \mathrm{gmol}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}.
Verificação rápida (consistência): o fluxo total de A calculado como N_A=c\,x_A\,\mathrm{v}_A vale
N_A=8{,}318\times 10^{-5}\cdot 0,25\cdot 0,17\approx 3{,}535\times 10^{-6}\\ \mathrm{gmol}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}.
E também N_A = c x_A \mathrm{v} + J_A^{*}
8{,}318\times 10^{-5}\cdot 0,25\cdot 0,02 + 3{,}119\times10^{-6} \approx 4{,}159\times10^{-7} + 3{,}119\times10^{-6}=3{,}535\times10^{-6},
que coincide com N_A. Então os cálculos são consistentes.

Resposta

a) \mathrm{v}=0,02\\ \mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}
b) \mathrm{v}^{*}=1{,}6636\times10^{-6}\\ \mathrm{gmol}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}
c) J_{A}^{*}=3{,}119\times10^{-6}\\ \mathrm{gmol}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}

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