Oxigênio ( \mathrm{O}_{2} ) está difundindo através de CO estacionário. A pressão total é 1 atm e a temperatura é 0{ }^{\circ} \mathrm{C}. A pressão parcial do \mathrm{O}_{2} em dois planos separados de 0,2 \mathrm{~cm} é respectivamente 100 e 50 mmHg . A difusividade de \mathrm{O}_{2} em CO é 0,185 \mathrm{~cm} 2 / \mathrm{s}. Calcule o fluxo molar de \mathrm{O}_{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Pressão total: P_{\text{tot}}=1\\ \text{atm}.
    • Temperatura: T=0{,}0^\circ\text{C}=273{,}15\\ \text{K}.
    • Duas pressões parciais de \mathrm{O}_2 em planos separados por L=0{,}2\\ \text{cm}:
      • p_{A1}=100\\ \text{mmHg} (no plano 1).
      • p_{A2}=50\\ \text{mmHg} (no plano 2).
    • Difusividade: D_{AB}=0{,}185\\ \text{cm}^2\!/\text{s} (difusividade de \mathrm{O}_2 em CO).
  • O que é pedido:
    • Calcular o fluxo molar de \mathrm{O}_2 (ou seja, N_A, mol por área por tempo) entre esses dois planos.

Passo 2

Modelo físico e fórmula a usar — explicação didática.
Estamos no caso estacionário (estado permanente) em que o CO está “parado” (estagnado) e o oxigênio difunde através dele. Para mistura gasosa ideal, a fração molar de A (oxigênio) é y_A=p_A/P_{\text{tot}}. Em regime estacionário, a equação para o fluxo molar de A através de um gás B estacionário (formulação padrão de difusão binária) é
N_A = -\frac{D_{AB}\,C_T}{1-y_A}\,\frac{d y_A}{dx},
onde:
  • N_A é o fluxo molar de A (mol por área por tempo), assumido constante no regime estacionário;
  • D_{AB} é a difusividade binária (cm^2/s);
  • C_T é a concentração total (mol por volume), ou seja C_T = \dfrac{P_{\text{tot}}}{R\,T};
  • y_A é a fração molar de A;
  • x é a coordenada espacial na direção da difusão.
Explicando a forma: a presença do fator 1-y_A surge porque, quando B é estacionário, há um escoamento molar induzido que modifica a relação direta entre gradiente de fração molar e fluxo; a equação acima é a forma diferencial apropriada. Para integrar do ponto 1 ao ponto 2, separamos variáveis e integramos:
\text{separando:}\quad \frac{N_A}{D_{AB}C_T}\,(1-y_A)\,dx = -dy_A.
Como N_A é constante, integra-se de x=0 a x=L e de y_A=y_1 a y_A=y_2, obtendo-se a forma integrada:
L = -\frac{D_{AB}C_T}{N_A}\,\ln\!\left(\frac{1-y_1}{1-y_2}\right).
Resolvendo para N_A:
\boxed{\,N_A = -\frac{D_{AB}\,C_T}{L}\,\ln\!\left(\frac{1-y_1}{1-y_2}\right)\,}
Observação sobre o sinal: se y_1>y_2 (mais A no plano 1), o logaritmo é negativo e o menos na frente torna N_A>0, ou seja fluxo no sentido de 1 para 2, como esperado.

Passo 3

Calcular as frações molares y_1 e y_2 a partir das pressões parciais (lei de Dalton / gases ideais).
Como y_A=p_A/P_{\text{tot}} e 1\\ \text{atm}=760\\ \text{mmHg}:
y_1=\frac{100}{760}=0{,}131578947\approx0{,}13158,
y_2=\frac{50}{760}=0{,}065789474\approx0{,}06579.

Passo 4

Calcular a concentração total C_T usando a equação dos gases ideais C_T=\dfrac{P_{\text{tot}}}{R\,T}, com cuidado nas unidades.
Usarei R=0{,}082057\\ \text{L atm mol}^{-1}\text{K}^{-1}=82{,}057\\ \text{cm}^3\text{ atm mol}^{-1}\text{K}^{-1} (multiplicando por 1000 para passar L \to cm^3). Assim
C_T=\frac{P_{\text{tot}}}{R\,T}=\frac{1\\ \text{atm}}{82{,}057\\ \text{cm}^3\text{ atm mol}^{-1}\text{K}^{-1}\times273{,}15\\ \text{K}}.
Fazendo a conta:
82{,}057\times273{,}15=22413{,}87555,
C_T=\frac{1}{22413{,}87555}\\ \text{mol cm}^{-3}\approx4{,}4609\times10^{-5}\\ \text{mol cm}^{-3}.

Passo 5

Aplicar a fórmula integrada e calcular numericamente.
Primeiro calcule o argumento do logaritmo:
1-y_1=1-0{,}1315789=0{,}8684211,
1-y_2=1-0{,}0657895=0{,}9342105,
\frac{1-y_1}{1-y_2}=\frac{0{,}8684211}{0{,}9342105}=0{,}9300000\\ (\text{aprox.}),
\ln\!\left(\frac{1-y_1}{1-y_2}\right)=\ln(0{,}93)\approx-0{,}0725707.
Agora aplicar
N_A = -\frac{D_{AB}\,C_T}{L}\,\ln\!\left(\frac{1-y_1}{1-y_2}\right).
Substituindo os valores (com L=0{,}2\\ \text{cm}):
\frac{D_{AB}\,C_T}{L}=\frac{0{,}185\\ \text{cm}^2\!/\text{s}\times4{,}4609\times10^{-5}\\ \text{mol cm}^{-3}}{0{,}2\\ \text{cm}} =4{,}126\times10^{-5}\\ \text{mol cm}^{-2}\text{s}^{-1}.
Multiplicando pelo fator -\ln(\cdots)=0{,}0725707:
N_A = 4{,}126\times10^{-5}\times0{,}0725707 \approx 2{,}995\times10^{-6}\\ \text{mol cm}^{-2}\text{s}^{-1}.
Converter para unidades mais usuais (mol m^{-2} s^{-1}): 1\\ \text{cm}^{-2}=10^{4}\\ \text{m}^{-2}, logo
N_A\approx 2{,}995\times10^{-6}\times10^{4}=0{,}02995\\ \text{mol m}^{-2}\text{s}^{-1}\approx0{,}0300\\ \text{mol m}^{-2}\text{s}^{-1}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida de sentido:
  • O fluxo é positivo no sentido do plano com maior fração molar ( p=100\\ \text{mmHg}) para o plano com menor fração ( p=50\\ \text{mmHg}), ou seja, oxigênio difunde do local mais rico para o mais pobre, como esperado.
  • As unidades conferem: mol cm^{-2} s^{-1} (ou mol m^{-2} s^{-1}).

Resposta

N_A \approx 2{,}995\times10^{-6}\\ \text{mol cm}^{-2}\text{s}^{-1}
N_A \approx 0{,}02995\\ \text{mol m}^{-2}\text{s}^{-1}

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