Um super avião se move ao longo do eixo x , afastandose de um observador a uma velocidade de 0,7 \mathrm{c}. Um segundo avião se move também no eixo x, afastando-se tanto do primeiro avião como do observador. A sua velocidade é de 0,7 \mathrm{c} em relação ao primeiro avião. Qual é a sua velocidade do segundo avião em relação ao observador?

Passo 1

O enunciado dá duas informações de velocidade ao longo do mesmo eixo x (mesma direção e sentido, afastando-se do observador) e pede a velocidade do segundo avião medida pelo observador. Dados relevantes:
\text{Velocidade do primeiro avião em relação ao observador: } v=0,7cãçã
\text{Velocidade do segundo avião em relação ao primeiro avião: } u'=0,7cãçãã
O que se pede:
\text{A velocidade do segundo avião em relação ao observador } u \,.ãçã

Passo 2

Importante: em relatividade não podemos somar velocidades simplesmente (como 0,7c+0,7c) porque isso poderia exceder c. Existe uma fórmula correta — chamada de regra de adição relativística de velocidades — que dá a velocidade u de um objeto no referencial do observador quando sua velocidade no referencial em movimento é u' e esse referencial se move com velocidade v em relação ao observador. A fórmula é
u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u' v}{c^{2}}}.
Vou agora explicar de onde vem essa fórmula (uma dedução curta) para você entender e conseguir aplicar em outras questões.

Passo 3

Dedução da fórmula (passo a passo, mas curta): use as transformações de Lorentz entre dois referenciais S (observador) e S' (primeiro avião), onde S' se desloca com velocidade v em relação a S.
As transformações são
x'=\gamma\,(x-vt),\qquad t'=\gamma\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right),
com \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}. A velocidade do segundo avião medida em S é u=\dfrac{dx}{dt} e em S' é u'=\dfrac{dx'}{dt'}. Calculamos
u'=\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx - v\,dt}{dt - \dfrac{v}{c^{2}}\,dx}.
Agora substituímos dx = u\,dt (definição de u) na expressão acima:
u'=\frac{u\,dt - v\,dt}{dt - \dfrac{v}{c^{2}} u\,dt}=\frac{u - v}{1 - \dfrac{u v}{c^{2}}}.
Essa é a forma que relaciona u' e u. Agora resolvemos essa equação para u:
u'(1 - \tfrac{u v}{c^{2}})=u - v
u' - u' \tfrac{u v}{c^{2}} = u - v
u\left(1 - u' \tfrac{v}{c^{2}}\right)=v + u'
u = \frac{v + u'}{1 + \dfrac{u' v}{c^{2}}}.
Essa é a mesma fórmula do Passo 2, reobtida a partir das transformações de Lorentz. Agora aplicamos aos números do enunciado.

Passo 4

Substituímos v=0,7c e u'=0,7c na fórmula:
u = \frac{0,7c + 0,7c}{1 + \dfrac{0,7c\cdot 0,7c}{c^{2}}} = \frac{1,4c}{1 + 0,49} = \frac{1,4c}{1,49}.
Agora fazemos a divisão numérica:
\frac{1,4}{1,49}\approx 0,939597\ldots
Portanto
u \approx 0,9396\,c.

Passo 5

Interpretação final e incentivo: o resultado mostra que mesmo somando duas velocidades altas ( 0,7c e 0,7c) a velocidade final vista pelo observador fica abaixo de c, como a relatividade exige. Fica tranquilo: essa é a maneira correta de combinar velocidades quando as velocidades são comparáveis à velocidade da luz — na prova use sempre a fórmula de adição relativística em vez da soma comum.

Resposta

0,94c (aprox.)

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