Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x+2 y+z,-x-y+z,-2 x-6 y-7 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{13} vale:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
T(x,y,z) = (x+2y+z,\; -x-y+z,\; -2x-6y-7z).
Isso corresponde à matriz A (na base canônica) tal que T(v)=A v. As informações relevantes que temos:
O que o exercício pede: calcular B, a matriz que representa a inversa de T (ou seja, B=A^{-1}), e em particular determinar o valor da entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) de B.]
Passo 2
Primeiro é importante verificar que A é invertível (para que A^{-1} exista). Para isso calculamos o determinante de A. Usando desenvolvimento por cofatores na primeira linha:
Como \det(A)=-1\neq0, A é invertível e A^{-1} existe. (Além disso, como \det(A)=-1, a inversa terá entradas inteiras caso a matriz adjunta tenha inteiros.)]
Passo 3
Estratégia prática para encontrar apenas b_{13}: a coluna j de A^{-1} é a solução v do sistema linear
A v = e_j,
onde e_j é o j-ésimo vetor da base canônica. Portanto, a terceira coluna de B=A^{-1} é a solução do sistema
Substituindo b=-2c\] na primeira equação:
\[a+2(-2c)+c=0 \quad\Rightarrow\quad a-4c+c=0 \quad\Rightarrow\quad a=3c.\]
Agora substituímos \(a=3c e b=-2c na terceira equação:
Assim a entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna de B) é o valor a=-3. Boa! Já era só montar o sistema e resolver com substituições simples — deu certinho e com números inteiros, graças ao determinante -1.]