Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x+2 y+z,-x-y+z,-2 x-6 y-7 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{13} vale:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T(x,y,z) = (x+2y+z,\; -x-y+z,\; -2x-6y-7z).
Isso corresponde à matriz A (na base canônica) tal que T(v)=A v. As informações relevantes que temos:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] -1 & -1 & 1\\[4pt] -2 & -6 & -7 \end{pmatrix}.
O que o exercício pede: calcular B, a matriz que representa a inversa de T (ou seja, B=A^{-1}), e em particular determinar o valor da entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) de B.]

Passo 2

Primeiro é importante verificar que A é invertível (para que A^{-1} exista). Para isso calculamos o determinante de A. Usando desenvolvimento por cofatores na primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-6 & -7\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-2 & -7\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-2 & -6\end{pmatrix}.
Calculemos cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-6 & -7\end{pmatrix}=(-1)(-7)-1(-6)=7+6=13,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-2 & -7\end{pmatrix}=(-1)(-7)-1(-2)=7+2=9,
\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-2 & -6\end{pmatrix}=(-1)(-6)-(-1)(-2)=6-2=4.
Logo
\det(A)=1\cdot13-2\cdot9+1\cdot4=13-18+4=-1.
Como \det(A)=-1\neq0, A é invertível e A^{-1} existe. (Além disso, como \det(A)=-1, a inversa terá entradas inteiras caso a matriz adjunta tenha inteiros.)]

Passo 3

Estratégia prática para encontrar apenas b_{13}: a coluna j de A^{-1} é a solução v do sistema linear
A v = e_j,
onde e_j é o j-ésimo vetor da base canônica. Portanto, a terceira coluna de B=A^{-1} é a solução do sistema
A\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O valor pedido b_{13} é a primeira componente dessa solução, isto é, o valor a.]

Passo 4

Escrevendo o sistema A(a,b,c)^T=e_3\) em equações: \[\begin{cases} a+2b+c=0,\\[4pt] - a - b + c=0,\\[4pt] -2a-6b-7c=1. \end{cases}
Resolvemos passo a passo. Somando a primeira e a segunda equação:
(a+2b+c)+(-a-b+c)=0+0 \quad\Rightarrow\quad b+2c=0.
Daí
b=-2c.
Substituindo b=-2c\] na primeira equação: \[a+2(-2c)+c=0 \quad\Rightarrow\quad a-4c+c=0 \quad\Rightarrow\quad a=3c.\] Agora substituímos \(a=3c e b=-2c na terceira equação:
-2(3c)-6(-2c)-7c=1.
Calculemos o lado esquerdo:
-6c+12c-7c =(-6+12-7)c = -1\cdot c.
Portanto
-1\cdot c = 1 \quad\Rightarrow\quad c=-1.
Com c=-1 obtemos
b=-2c = -2(-1)=2,\qquad a=3c=3(-1)=-3.]

Passo 5

Concluímos que a terceira coluna de B=A^{-1} é
\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Assim a entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna de B) é o valor a=-3. Boa! Já era só montar o sistema e resolver com substituições simples — deu certinho e com números inteiros, graças ao determinante -1.]

Resposta

(F) -3

Exercícios relacionados