Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-5,-1) e \vec{v}=(-3,-2). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(3,2) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-3), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.
Os vetores no sistema canônico são \vec{u}=(-5,-1) e \vec{v}=(-3,-2).
As coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(3,2) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-3).
O que se pede: determinar \vec{b}_{2} (as opções mostram apenas a componente segunda e um * para a primeira componente).
Passo 2
Entendendo o significado das coordenadas: dizer que [\vec{u}]_{\beta}=(3,2) significa que \vec{u} é a combinação linear
\vec{u}=3\vec{b}_{1}+2\vec{b}_{2}.
De forma análoga, [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-3) significa
\vec{v}=-1\vec{b}_{1}-3\vec{b}_{2}.
Essas são equações vetoriais em \mathbb{R}^{2}; cada uma equivale a duas equações escalares (para a primeira e segunda coordenadas).
Passo 3
Vamos escrever as componentes: coloque \vec{b}_{1}=(x_{1},y_{1}) e \vec{b}_{2}=(x_{2},y_{2}). Substituindo nas igualdades vetoriais obtemos, componente a componente:
a partir de \vec{u}=3\vec{b}_{1}+2\vec{b}_{2}:
3x_{1}+2x_{2}=-5,
3y_{1}+2y_{2}=-1.
a partir de \vec{v}=-\vec{b}_{1}-3\vec{b}_{2}:
- x_{1}-3x_{2}=-3,
- y_{1}-3y_{2}=-2.
Agora temos dois sistemas independentes (um para as coordenadas x e outro para as y), cada um em (x_{1},x_{2}) ou (y_{1},y_{2}).
Passo 4
Resolveremos primeiro o sistema das componentes x. As equações são
3x_{1}+2x_{2}=-5,
- x_{1}-3x_{2}=-3.
Uma técnica prática é eliminar x_{1}: multiplica-se a segunda equação por 3 e soma-se à primeira. Multiplicando:
-3x_{1}-9x_{2}=-9.
Somando com 3x_{1}+2x_{2}=-5 dá
(3x_{1}-3x_{1})+(2x_{2}-9x_{2})=-5-9,
ou seja
-7x_{2}=-14.
Logo
x_{2}=2.
Passo 5
Agora o sistema das componentes y:
3y_{1}+2y_{2}=-1,
- y_{1}-3y_{2}=-2.
Fazendo a mesma eliminação: multiplica-se a segunda por 3: