Considere os pontos A(0,0,0), B(2,1,0), C(1,3,1), D(0,2,4). Determine:
(a) os vetores \mathrm{AB}, \mathrm{AC} e AD
(b) o produto misto: A B \cdot(A C x A D)

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço:
  • A(0,0,0)
  • B(2,1,0)
  • C(1,3,1)
  • D(0,2,4)
Pede duas coisas:
(a) Determinar os vetores \mathrm{AB},\\ \mathrm{AC} e \mathrm{AD}.
(b) Calcular o produto misto \mathrm{AB}\cdot(\mathrm{AC}\times\mathrm{AD}).

Passo 2

Definição prática (passo-a-passo para a prova): o vetor que vai de um ponto P(x_1,y_1,z_1) para um ponto Q(x_2,y_2,z_2) é obtido por subtração componente a componente:
\overrightarrow{PQ} = (x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Isso significa que para obter \mathrm{AB} eu subtraio as coordenadas de A das de B, e o mesmo para \mathrm{AC} e \mathrm{AD}. É uma conta direta e essencial em geometria vetorial.

Passo 3

Calcular \mathrm{AB} usando a regra de subtração:
\mathrm{AB} = (2-0,\;1-0,\;0-0) = (2,\;1,\;0).

Passo 4

Calcular \mathrm{AC}:
\mathrm{AC} = (1-0,\;3-0,\;1-0) = (1,\;3,\;1).

Passo 5

Calcular \mathrm{AD}:
\mathrm{AD} = (0-0,\;2-0,\;4-0) = (0,\;2,\;4).

Passo 6

Agora vamos à definição do produto vetorial (cruz). Para dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), o produto vetorial u\times v é um vetor perpendicular a ambos dado pelas componentes (fórmula via determinante):
u\times v = \big(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\big).
Essa fórmula pode ser memorizada ou lembrada como desenvolvimento do determinante 3×3 com os versores, mas na prova aplicar diretamente as componentes funciona bem. Vamos aplicar com u=\mathrm{AC} e v=\mathrm{AD}.

Passo 7

Calcular \mathrm{AC}\times\mathrm{AD} com \mathrm{AC}=(1,3,1) e \mathrm{AD}=(0,2,4):
\mathrm{AC}\times\mathrm{AD} = \big(3\cdot4 - 1\cdot2,\; 1\cdot0 - 1\cdot4,\; 1\cdot2 - 3\cdot0\big).
Agora avalio cada componente:
3\cdot4 - 1\cdot2 = 12-2 = 10,
1\cdot0 - 1\cdot4 = 0-4 = -4,
1\cdot2 - 3\cdot0 = 2-0 = 2.
Portanto
\mathrm{AC}\times\mathrm{AD} = (10,\;-4,\;2).

Passo 8

Definição do produto escalar (p/ prova): para dois vetores p=(p_1,p_2,p_3) e q=(q_1,q_2,q_3),
p\cdot q = p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3.
O produto misto \mathrm{AB}\cdot(\mathrm{AC}\times\mathrm{AD}) é exatamente um produto escalar entre \mathrm{AB} e o vetor resultado do produto vetorial. O resultado é um número (escalar). Geometricamente, o valor absoluto é o volume do paralelepípedo determinado por \mathrm{AB},\mathrm{AC},\mathrm{AD}.

Passo 9

Calcular o produto misto usando \mathrm{AB}=(2,1,0) e \mathrm{AC}\times\mathrm{AD}=(10,-4,2):
\mathrm{AB}\cdot(\mathrm{AC}\times\mathrm{AD}) = 2\cdot10 + 1\cdot(-4) + 0\cdot2.
Avalio:
2\cdot10 = 20,\qquad 1\cdot(-4) = -4,\qquad 0\cdot2 = 0,
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\mathrm{AB}\cdot(\mathrm{AC}\times\mathrm{AD}) = 20 - 4 + 0 = 16.

Passo 10

Pequena checagem mental (útil na prova): o produto misto também pode ser calculado como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \mathrm{AB},\mathrm{AC},\mathrm{AD}. Se alguém fizer isso dá o mesmo 16. Isso confirma que o cálculo está consistente.

Resposta

(a) \mathrm{AB}=(2,1,0), \mathrm{AC}=(1,3,1), \mathrm{AD}=(0,2,4)
(b) \mathrm{AB}\cdot(\mathrm{AC}\times\mathrm{AD})=16

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