Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-3)=(1,1,1) e T(-1,4)=(0,-1,-2). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa duas imagens:
T(1,-3)=(1,1,1), \qquad T(-1,4)=(0,-1,-2).
O que se pede é encontrar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix},
e, em particular, determinar o valor da entrada a_{12} da matriz A. As opções são (A) -6, (B) -5, (C) -4, (D) -3, (E) -2, (F) -1, (G) 0, (H) 1.

Passo 2

Explicação importante sobre como associar matriz a transformação linear (passo didático): se escrevemos a matriz A em blocos de colunas como
A=\begin{bmatrix}\mathbf{u}&\mathbf{v}\end{bmatrix},
onde \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 são as colunas, então para qualquer vetor (x,y) vale
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}=x\mathbf{u}+y\mathbf{v}.
Em particular, \mathbf{u}=T(1,0) é a primeira coluna de A e \mathbf{v}=T(0,1) é a segunda coluna de A. Nosso objetivo será encontrar \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 3

Usando linearidade de T e a decomposição dos vetores dados em combinações de (1,0) e (0,1), escrevemos as duas igualdades fornecidas em termos das colunas \mathbf{u} e \mathbf{v}:
T(1,-3)=1\cdot T(1,0)-3\cdot T(0,1)=\mathbf{u}-3\mathbf{v}=(1,1,1),
T(-1,4)=-1\cdot T(1,0)+4\cdot T(0,1)=-\mathbf{u}+4\mathbf{v}=(0,-1,-2).

Passo 4

Agora temos um sistema vetorial para \mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\): \[\begin{cases} \mathbf{u}-3\mathbf{v}=(1,1,1),\\[4pt] -\mathbf{u}+4\mathbf{v}=(0,-1,-2). \end{cases}
Somando as duas equações (somar coordenada a coordenada) eliminamos (\mathbf{u}]:
(\mathbf{u}-3\mathbf{v})+(-\mathbf{u}+4\mathbf{v})=\mathbf{v}=(1,1,1)+(0,-1,-2).]

Passo 5

Calculemos a soma na direita:
(1,1,1)+(0,-1,-2)=(1,0,-1).
Logo
\mathbf{v}=(1,0,-1).

Passo 6

Com \mathbf{v} encontrado voltamos à primeira equação para obter \mathbf{u}:
\mathbf{u}=(1,1,1)+3\mathbf{v}=(1,1,1)+3(1,0,-1).
Calculemos componente a componente:
\mathbf{u}=(1+3,\;1+0,\;1-3)=(4,1,-2).

Passo 7

Assim a matriz A cujas colunas são \mathbf{u} e \mathbf{v} é
A=\begin{bmatrix}\mathbf{u}&\mathbf{v}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4 & 1\\[4pt] 1 & 0\\[4pt] -2 & -1 \end{bmatrix}.
A entrada a_{12} é o elemento da primeira linha e segunda coluna, que aqui vale 1.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): usando as colunas obtidas,
\mathbf{u}-3\mathbf{v}=(4,1,-2)-3(1,0,-1)=(4-3,\;1-0,\;-2+3)=(1,1,1),
-\mathbf{u}+4\mathbf{v}=-(4,1,-2)+4(1,0,-1)=( -4+4,\;-1+0,\;2-4)=(0,-1,-2),
que coincide com as informações do enunciado, confirmando o resultado.

Resposta

(H)

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