Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-3)=(1,1,1) e T(-1,4)=(0,-1,-2). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa duas imagens:
T(1,-3)=(1,1,1), \qquad T(-1,4)=(0,-1,-2).
O que se pede é encontrar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix},
e, em particular, determinar o valor da entrada a_{12} da matriz A. As opções são (A) -6, (B) -5, (C) -4, (D) -3, (E) -2, (F) -1, (G) 0, (H) 1.
Passo 2
Explicação importante sobre como associar matriz a transformação linear (passo didático): se escrevemos a matriz A em blocos de colunas como
Em particular, \mathbf{u}=T(1,0) é a primeira coluna de A e \mathbf{v}=T(0,1) é a segunda coluna de A. Nosso objetivo será encontrar \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Passo 3
Usando linearidade de T e a decomposição dos vetores dados em combinações de (1,0) e (0,1), escrevemos as duas igualdades fornecidas em termos das colunas \mathbf{u} e \mathbf{v}:
Agora temos um sistema vetorial para \mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\):
\[\begin{cases} \mathbf{u}-3\mathbf{v}=(1,1,1),\\[4pt] -\mathbf{u}+4\mathbf{v}=(0,-1,-2). \end{cases}
Somando as duas equações (somar coordenada a coordenada) eliminamos (\mathbf{u}]: (\mathbf{u}-3\mathbf{v})+(-\mathbf{u}+4\mathbf{v})=\mathbf{v}=(1,1,1)+(0,-1,-2).]
Passo 5
Calculemos a soma na direita:
(1,1,1)+(0,-1,-2)=(1,0,-1).
Logo
\mathbf{v}=(1,0,-1).
Passo 6
Com \mathbf{v} encontrado voltamos à primeira equação para obter \mathbf{u}:
\mathbf{u}=(1,1,1)+3\mathbf{v}=(1,1,1)+3(1,0,-1).
Calculemos componente a componente:
\mathbf{u}=(1+3,\;1+0,\;1-3)=(4,1,-2).
Passo 7
Assim a matriz A cujas colunas são \mathbf{u} e \mathbf{v} é