Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x+2 y+2 z,-x-3 y-3 z, x+4 y+5 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{21} vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y+2z,\;-x-3y-3z,\;x+4y+5z).
Pede-se a matriz B que representa a inversa de T (ou seja, B=A^{-1} onde A é a matriz de T na base canônica) e, especificamente, o valor da entrada b_{21} (entrada da segunda linha, primeira coluna) entre as alternativas fornecidas.
Informações relevantes dadas:
A matriz A de T na base canônica é formada pelas colunas correspondentes às imagens de e_1,e_2,e_3. Assim,
Escolha do método: vou encontrar A^{-1} usando eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações elementares à matriz augmentada \bigl[A\mid I\bigr]. Isso é prático para matrizes 3\times3 e gera passo a passo a inversa. Lembrete rápido do conceito usado:
A inversa B satisfaz AB=I.
Ao aplicar operações de linha a \bigl[A\mid I\bigr] que transformam A em I, as mesmas operações transformam I em A^{-1}.