Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x+2 y+2 z,-x-3 y-3 z, x+4 y+5 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{21} vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y+2z,\;-x-3y-3z,\;x+4y+5z).
Pede-se a matriz B que representa a inversa de T (ou seja, B=A^{-1} onde A é a matriz de T na base canônica) e, especificamente, o valor da entrada b_{21} (entrada da segunda linha, primeira coluna) entre as alternativas fornecidas.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A de T na base canônica é formada pelas colunas correspondentes às imagens de e_1,e_2,e_3. Assim,
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] -1 & -3 & -3\\[4pt] 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}.
  • Queremos B=A^{-1} e em particular b_{21}.]

Passo 2

Escolha do método: vou encontrar A^{-1} usando eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações elementares à matriz augmentada \bigl[A\mid I\bigr]. Isso é prático para matrizes 3\times3 e gera passo a passo a inversa. Lembrete rápido do conceito usado:
  • A inversa B satisfaz AB=I.
  • Ao aplicar operações de linha a \bigl[A\mid I\bigr] que transformam A em I, as mesmas operações transformam I em A^{-1}.

Passo 3

Montar a matriz augmentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & -3 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 4 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Aplicar operações de linha para triangular e depois reduzir.
  1. Eliminar o elemento -1 abaixo do pivô da coluna 1: R_2\leftarrow R_2+R_1.
  2. Eliminar o elemento 1 em R_3 na coluna 1: R_3\leftarrow R_3-R_1.
Após essas duas operações:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Trocar R_2 e R_3 para ter pivô positivo na segunda coluna: R_2\leftrightarrow R_3.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 3 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].
  1. Tornar o pivô da segunda linha igual a 1: R_2\leftarrow \tfrac{1}{2}R_2.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].
  1. Eliminar a entrada 2 acima do pivô (coluna 2): R_1\leftarrow R_1-2R_2.
  2. Eliminar a entrada -1 abaixo do pivô: R_3\leftarrow R_3+R_2.
Após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 5

Continuar para obter a identidade à esquerda.
  1. Tornar o pivô da terceira linha igual a 1: R_3\leftarrow 2R_3.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminar as entradas na coluna 3 nas linhas 1 e 2:
  • R_1\leftarrow R_1+R_3 (pois R_1 tem -1 em coluna 3),
  • R_2\leftarrow R_2-\tfrac{3}{2}R_3.
Aplicando essas:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right].
Agora a parte esquerda é a matriz identidade, e a parte direita é A^{-1}. Assim:
A^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\[4pt] -2 & -3 & -1\\[4pt] 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Ler a entrada pedida: b_{21} é o elemento da segunda linha e primeira coluna de A^{-1}. Da matriz encontrada:
b_{21}=-2.
Comparando com as alternativas dadas, a opção correspondente é a que indica -2, isto é a opção (\mathrm{B}).

Resposta

(B) -2

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