Determine o ponto da reta
que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A reta
com equação . - O ponto
com coordenadas .
O que é pedido:
- Determinar o ponto da reta
que está mais próximo de .
Passo 2
Ideia chave (explicada): o segmento de menor distância entre um ponto e uma reta é o segmento que é perpendicular à reta. Em outras palavras, se
é o ponto de
mais próximo de
, então o segmento
é perpendicular à reta
.
Por que isso é verdade (intuição simples): pegue qualquer ponto
da reta e desenhe o triângulo formado por
, a projeção ortogonal
(ponto onde a perpendicular de
encontra a reta) e
. Esse triângulo tem um ângulo reto em
; o cateto
é menor ou igual a qualquer outra distância
(o segmento
seria a hipotenusa se
), logo
é a menor distância possível. Portanto devemos encontrar a interseção entre
e a reta que passa por
e é perpendicular a
.
Passo 3
Calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta
:
- A reta
tem equação , portanto seu coeficiente angular é .
Para uma reta não vertical, a reta perpendicular tem coeficiente angular
satisfazendo
. Isso vem da propriedade geométrica de retas perpendiculares no plano cartesiano.
Logo
Passo 4
Escrever a equação da reta perpendicular que passa por
usando a forma ponto-inclinação:
a forma ponto-inclinação é , onde
é um ponto conhecido da reta e
é o coeficiente angular.
a forma ponto-inclinação é
Aplicando com
e
, obtemos
Simplificando,
Passo 5
Encontrar a interseção entre as duas retas resolvendo o sistema formado por
e
Igualando as expressões para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Reagrupando termos:
Logo
Substituindo na equação de
para obter
:
Portanto o ponto da reta
mais próximo de
é
.
Passo 6
(Verificação alternativa por minimização — método que dá o mesmo resultado)
Se é um ponto genérico de
, a distância ao ponto
é dada por
Se
É mais simples minimizar
. Calculando:
Derivando e igualando a zero,
Isso confirma o
encontrado antes; o
correspondente é
.