Determine o ponto da reta r: y=2 x+1 que está mais próximo do ponto P(0,3).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A reta r com equação y=2x+1.
  • O ponto P com coordenadas P(0,3).
O que é pedido:
  • Determinar o ponto da reta r que está mais próximo de P.

Passo 2

Ideia chave (explicada): o segmento de menor distância entre um ponto e uma reta é o segmento que é perpendicular à reta. Em outras palavras, se Q é o ponto de r mais próximo de P, então o segmento PQ é perpendicular à reta r.
Por que isso é verdade (intuição simples): pegue qualquer ponto Q da reta e desenhe o triângulo formado por P, a projeção ortogonal H (ponto onde a perpendicular de P encontra a reta) e Q. Esse triângulo tem um ângulo reto em H; o cateto PH é menor ou igual a qualquer outra distância PQ (o segmento PQ seria a hipotenusa se Q\neq H), logo PH é a menor distância possível. Portanto devemos encontrar a interseção entre r e a reta que passa por P e é perpendicular a r.

Passo 3

Calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta r:
  • A reta r tem equação y=2x+1, portanto seu coeficiente angular é m=2.
Para uma reta não vertical, a reta perpendicular tem coeficiente angular m_{\perp} satisfazendo m\cdot m_{\perp}=-1. Isso vem da propriedade geométrica de retas perpendiculares no plano cartesiano.
Logo
m_{\perp}=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}.

Passo 4

Escrever a equação da reta perpendicular que passa por P(0,3) usando a forma ponto-inclinação:
a forma ponto-inclinação é \;y-y_0=m(x-x_0)\;, onde (x_0,y_0) é um ponto conhecido da reta e m é o coeficiente angular.
Aplicando com (x_0,y_0)=(0,3) e m=m_{\perp}=-\dfrac{1}{2}, obtemos
y-3=-\frac{1}{2}(x-0).
Simplificando,
y=3-\frac{x}{2}.

Passo 5

Encontrar a interseção entre as duas retas resolvendo o sistema formado por
y=2x+1
e
y=3-\frac{x}{2}.
Igualando as expressões para y:
2x+1=3-\frac{x}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
4x+2=6-x.
Reagrupando termos:
4x+x=6-2 \quad\Rightarrow\quad 5x=4.
Logo
x=\frac{4}{5}.
Substituindo na equação de r para obter y:
y=2\cdot\frac{4}{5}+1=\frac{8}{5}+\frac{5}{5}=\frac{13}{5}.
Portanto o ponto da reta r mais próximo de P é \left(\dfrac{4}{5},\dfrac{13}{5}\right).

Passo 6

(Verificação alternativa por minimização — método que dá o mesmo resultado)
Se Q=(x,2x+1) é um ponto genérico de r, a distância ao ponto P(0,3) é dada por
D(x)=\sqrt{(x-0)^2+(2x+1-3)^2}=\sqrt{x^2+(2x-2)^2}.
É mais simples minimizar D^2(x)=x^2+(2x-2)^2. Calculando:
D^2(x)=x^2+4(x-1)^2=5x^2-8x+4.
Derivando e igualando a zero,
\frac{d}{dx}D^2(x)=10x-8=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{5}.
Isso confirma o x encontrado antes; o y correspondente é y=\dfrac{13}{5}.

Resposta

\left(\dfrac{4}{5},\dfrac{13}{5}\right)

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