A pergunta que precisamos responder é: qual é a dimensão do subespaço imagem \operatorname{Im}(T)?]
Passo 2
O que significa “dimensão da imagem” e como identificar isso (aula rápida e prática):
A imagem de T é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^{3} que podem ser escritos como T(x) para algum x\in\mathbb{R}^{4}. Em termos de matriz, a imagem é o subespaço gerado (span) pelas colunas de A.
A dimensão da imagem é o número de colunas linearmente independentes de A. Esse número é chamado de posto (rank) da matriz.
Para descobrir esse número de forma prática, usa-se eliminação (redução por linhas) para encontrar o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada). Vou fazer isso passo a passo, explicando cada operação.
As colunas de A são (peguei esses vetores da matriz acima):
Agora já vemos três linhas com pivot potencial nas colunas 1, 2 e 3 (a terceira linha tem um -2 na terceira coluna).
Operação 3: simplificar pivôs para 1 e eliminar acima (operação para obter forma escalonada reduzida, facilitando a contagem). Faço R_{2}\leftarrow -R_{2} e R_{3}\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_{3}, obtendo:
A forma escalonada reduzida tem três linhas não nulas, com pivôs nas colunas 1, 2 e 3.
Isso significa que existem três pivôs; portanto o posto (rank) de A é 3.
Como a dimensão da imagem de T é igual ao posto da matriz que representa T, temos que \dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=3.
Observação útil: T vai para \mathbb{R}^{3}, então o posto máximo possível é 3; aqui atingimos esse máximo, ou seja, T é sobrejetora para um subespaço de dimensão total 3 no contradomínio.