Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+2 x_{4}\right., \left.2 x_{1}+3 x_{2}-3 x_{3}+6 x_{4}, \quad x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+6 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4},\;2x_{1}+3x_{2}-3x_{3}+6x_{4},\;x_{1}+x_{2}-4x_{3}+6x_{4}\bigr)
e pergunta qual é a dimensão da imagem de T. Informações relevantes dadas:
  • A transformação é de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R}^{3}.
  • Os coeficientes das combinações lineares permitem escrever T por uma matriz 3\times4. Essa matriz (peguei os coeficientes do enunciado) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & -3 & 6\\[4pt] 1 & 1 & -4 & 6 \end{pmatrix}.
A pergunta que precisamos responder é: qual é a dimensão do subespaço imagem \operatorname{Im}(T)?]

Passo 2

O que significa “dimensão da imagem” e como identificar isso (aula rápida e prática):
  • A imagem de T é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^{3} que podem ser escritos como T(x) para algum x\in\mathbb{R}^{4}. Em termos de matriz, a imagem é o subespaço gerado (span) pelas colunas de A.
  • A dimensão da imagem é o número de colunas linearmente independentes de A. Esse número é chamado de posto (rank) da matriz.
  • Para descobrir esse número de forma prática, usa-se eliminação (redução por linhas) para encontrar o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada). Vou fazer isso passo a passo, explicando cada operação.
As colunas de A são (peguei esses vetores da matriz acima):
\begin{aligned} v_{1} &= \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},& v_{2} &= \begin{pmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]1\end{pmatrix},\\[4pt] v_{3} &= \begin{pmatrix}-1\\[2pt]-3\\[2pt]-4\end{pmatrix},& v_{4} &= \begin{pmatrix}2\\[2pt]6\\[2pt]6\end{pmatrix}. \end{aligned}
Queremos saber quantos desses vetores são linearmente independentes.]

Passo 3

Aplicando eliminação por linhas à matriz A. Começo mostrando A novamente:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & -3 & 6\\[4pt] 1 & 1 & -4 & 6 \end{pmatrix}.
Operação 1: eliminar abaixo do pivô da primeira coluna. Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}. Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -3 & 4 \end{pmatrix}.
Explanação: subtraindo múltiplos da primeira linha zera os elementos na primeira coluna das linhas 2 e 3, preparando o próximo pivô.
Operação 2: eliminar abaixo do pivô da segunda linha. Primeiro subtraio a linha 2 da linha 3: R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}. Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}.
Agora já vemos três linhas com pivot potencial nas colunas 1, 2 e 3 (a terceira linha tem um -2 na terceira coluna).
Operação 3: simplificar pivôs para 1 e eliminar acima (operação para obter forma escalonada reduzida, facilitando a contagem). Faço R_{2}\leftarrow -R_{2} e R_{3}\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_{3}, obtendo:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Agora elimino os elementos acima do pivô na terceira coluna: R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3} e R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{3}. Resultado intermediário:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Por fim, elimino o elemento acima do pivô da segunda coluna: R_{1}\leftarrow R_{1}-2R_{2}. Resultado final (forma escalonada reduzida):
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Interpretação do resultado:
  • A forma escalonada reduzida tem três linhas não nulas, com pivôs nas colunas 1, 2 e 3.
  • Isso significa que existem três pivôs; portanto o posto (rank) de A é 3.
  • Como a dimensão da imagem de T é igual ao posto da matriz que representa T, temos que \dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=3.
  • Observação útil: T vai para \mathbb{R}^{3}, então o posto máximo possível é 3; aqui atingimos esse máximo, ou seja, T é sobrejetora para um subespaço de dimensão total 3 no contradomínio.

Resposta

(D) 3

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