Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(4,-4) e \vec{v}=(4,-6). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(4,4) e [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-2), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2} (os vetores \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} são desconhecidos).
  • Vetores em coordenadas padrão:
    • \vec{u}=(4,-4).
    • \vec{v}=(4,-6).
  • Coordenadas desses vetores na base \beta:
    • [\vec{u}]_{\beta}=(4,4).
    • [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-2).
      O que a questão pede:
  • Determinar qual das alternativas (A) a (H) corresponde à componente y (segunda componente) de \vec{b}_{1}. As alternativas estão no formato \left[\begin{array}{l}* \\\ k\end{array}\right] indicando que só interessa o segundo componente k.

Passo 2

Entendendo o significado das coordenadas em uma base (aula rápida):
  • Se [\vec{u}]_{\beta}=(4,4), isso significa que \vec{u} é a combinação linear 4\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}. Em símbolos:
\vec{u}=4\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}.
  • Se [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-2), isso significa que
\vec{v}=-4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}.
Isto é direto da definição de coordenadas em relação a uma base: as coordenadas dizem quantos múltiplos de cada vetor da base somar para obter o vetor no espaço.

Passo 3

Vamos escrever \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} com componentes desconhecidas. Seja
\vec{b}_{1}=\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix},\qquad \vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}c\\\ d\end{pmatrix}.
Usando \vec{u}=4\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2} e \vec{u}=(4,-4) obtemos as equações por componentes:
4a+4c=4, \qquad 4b+4d=-4.
Dividindo por 4 em cada equação para simplificar:
a+c=1, \qquad b+d=-1.

Passo 4

Agora usamos \vec{v}=-4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2} com \vec{v}=(4,-6). Pelas componentes:
-4a-2c=4, \qquad -4b-2d=-6.
A ideia é usar as relações c=1-a e d=-1-b (obtidas em

Passo 5

Substituindo c=1-a na equação para a componente x:
-4a-2(1-a)=4.
Desenvolvendo:
-4a-2+2a=4 \quad\Rightarrow\quad -2a-2=4 \quad\Rightarrow\quad -2a=6 \quad\Rightarrow\quad a=-3.
Substituindo d=-1-b na equação para a componente y:
-4b-2(-1-b)=-6.
Desenvolvendo:
-4b+2+2b=-6 \quad\Rightarrow\quad -2b+2=-6 \quad\Rightarrow\quad -2b=-8 \quad\Rightarrow\quad b=4.

Passo 6

Encontramos:
\vec{b}_{1}=\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\\\ 4\end{pmatrix}.
A segunda componente de \vec{b}_{1} é 4. Correspondendo às alternativas listadas, isso é a alternativa (F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right].

Resposta

(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]

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