Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(4,-4) e \vec{v}=(4,-6). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(4,4) e [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-2), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2} (os vetores \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} são desconhecidos).
Vetores em coordenadas padrão:
\vec{u}=(4,-4).
\vec{v}=(4,-6).
Coordenadas desses vetores na base \beta:
[\vec{u}]_{\beta}=(4,4).
[\vec{v}]_{\beta}=(-4,-2).
O que a questão pede:
Determinar qual das alternativas (A) a (H) corresponde à componente y (segunda componente) de \vec{b}_{1}. As alternativas estão no formato \left[\begin{array}{l}* \\\ k\end{array}\right] indicando que só interessa o segundo componente k.
Passo 2
Entendendo o significado das coordenadas em uma base (aula rápida):
Se [\vec{u}]_{\beta}=(4,4), isso significa que \vec{u} é a combinação linear 4\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}. Em símbolos:
\vec{u}=4\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}.
Se [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-2), isso significa que
\vec{v}=-4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}.
Isto é direto da definição de coordenadas em relação a uma base: as coordenadas dizem quantos múltiplos de cada vetor da base somar para obter o vetor no espaço.
Passo 3
Vamos escrever \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} com componentes desconhecidas. Seja
A segunda componente de \vec{b}_{1} é 4. Correspondendo às alternativas listadas, isso é a alternativa (F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right].