Considere a transformação linear G: R^3 P2(R) cuja matriz é
[G]B^C=[ccc -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 1 & -1 & 0 ]
Com B=1, t, t^2 a base canônica de P2(R) e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica de R^3.
(a) Calcule [G(-1,2,3)]B
(b) Escreva explicitamente o polinômio G(-1,2,3)
(c) Obtenha uma expressão para G(x, y, z)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
G:R^3to P2(R)
cuja matriz na base canônica do domínio C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e na base canônica do contradomínio B=1,t,t^2 é
[G]B^C = -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 1 & -1 & 0
Precisamos calcular
(a) as coordenadas [G(-1,2,3)]B,
(b) o polinômio G(-1,2,3) de forma explícita,
(c) a expressão geral G(x,y,z).

Passo 2

Para (a), usamos que
[G(-1,2,3)]B = [G]B^C, -123 = -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 1 & -1 & 0 -123
Calculando linha a linha:
– primeira entrada: -1cdot(-1)+0cdot2+1cdot3 = 1+3 = 4,
– segunda entrada: 2cdot(-1)+1cdot2+(-1)cdot3 = -2+2-3 = -3,
– terceira entrada: 1cdot(-1)+(-1)cdot2+0cdot3 = -1-2 = -3.
Logo
[G(-1,2,3)]B = 4-3-3

Passo 3

Para (b), se as coordenadas em B são l(a,b,cr), o polinômio correspondente é
G(v)(t) = a + b,t + c,t^2
Aqui a=4, b=-3, c=-3. Portanto
G(-1,2,3)(t) = 4 - 3,t - 3,t^2

Passo 4

Para (c), seja . Então
Em notação de polinômio fica

Resposta

(a) [G(-1,2,3)]B = 4-3-3
(b) G(-1,2,3)(t) = 4 - 3,t - 3,t^2
(c) G(x,y,z)(t) = (-x+z) + (2x+y-z),t + (x-y),t^2

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