Determine os valores de para os quais o sistema abaixo é incompatível (não tem solução), compatível determinado (tem solução única) e compatível indeterminado (tem infinitas soluções). Ache as soluções do sistema para os casos em que elas existam.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de três equações e três incógnitas com parâmetro a:
x+y+z=0, x+a y+z=1, x+y - a z=a
O conteúdo é classificação de sistemas lineares (compatível determinado, compatível indeterminado, incompatível) usando determinante da matriz dos coeficientes e, quando necessário, o critério de Rouché–Capelli.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & -a
e calculamos o determinante:
det A = det 1 & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & -a =1cdotl(acdot(-a)-1cdot1r) -1cdotl(1cdot(-a)-1cdot1r) +1cdotl(1cdot1 -acdot1r)
Se aneqpm1, então det Aneq0 e o sistema é compatível determinado (solução única).
Se a=pm1, então det A=0 e precisaremos checar a consistência (Rouché–Capelli).
Passo 4
Subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira, obtemos:
(2) - (1):;(a-1),y = 1, (3) - (1):;-(a+1),z = a
Para a=1 surge 0cdot y=1, impossível.
Para a=-1 surge 0cdot z=-1, também impossível.
Logo, em ambos os casos a=pm1 o sistema é incompatível (sem solução). Não há valor de a que torne o sistema indeterminado.
Passo 5
Para aneqpm1 resolvemos diretamente:
y = 1a-1, z = -aa+1,
e a partir de x+y+z=0,
x = -y - z = -1a-1 + aa+1 = a^2-2a-1a^2-1
Resposta
Incompatível (sem solução): a=1 ou a=-1.
Compatível determinado (solução única): aneqpm1, com
x = a^2-2a-1a^2-1, y = 1a-1, z = -aa+1
Compatível indeterminado: não ocorre para nenhum a.