Considere a transformação linear H: P2(R) R^3 cuja matriz é
[H]C^B=[ccc -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 1 & -1 & 0 ]
Com B=1, t, t^2 a base canônica de P2(R) e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica de R^3.
(a) Calcule [H(-1+2 t+3 t^2)]C
(b) Escreva explicitamente o vetor H(-1+2 t+3 t^2)
(c) Obtenha uma expressão para H(a+b t+c t^2)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear H: P2(R)toR^3 cuja matriz na base canônica B=1,t,t^2 de P2(R) e na base canônica C de R^3 é
[H]C^B = -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 1 & -1 & 0
Para calcular H em qualquer polinômio usamos a regra de que as coordenadas de H(p) em C são obtidas multiplicando esta matriz pelo vetor de coordenadas de p em B.

Passo 2

Para (a) queremos l[H(-1+2t+3t^2)r]C. O vetor de coordenadas de -1+2t+3t^2 em B é -123. Logo
l[H(-1+2t+3t^2)r]C = -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 1 & -1 & 0 -123 = (-1)(-1)+0cdot2+1cdot3 2(-1)+1cdot2+(-1)cdot3 1(-1)+(-1)cdot2+0cdot3 = 4-3-3

Passo 3

Para (b) basta interpretar esse vetor de coordenadas na base canônica de R^3. Assim,
H(-1+2t+3t^2) = (4,-3,-3)inR^3

Passo 4

Para (c) seja um polinômio genérico . Suas coordenadas em são , então
Isso significa que

Resposta

(a) l[H(-1+2t+3t^2)r]C=4-3-3
(b) H(-1+2t+3t^2)=(4,-3,-3)
(c) H(a+bt+ct^2)=l(-a+c,;2a+b-c,;a-br)

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