Exercício 2

No espaço vetorial P3(F) dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , considere as seguintes bases ordenadas: B=(1, t, t^2, t^3) e C=(1,1+t, 1+t^2, t^3).
(1,5 ponto) a) Escreva os elementos da base ordenada C em função dos elementos da base ordenada B. Determine IC B, a matriz de mudança de base de B para C.
(1 ponto) b) Determine IB C, a matriz de mudança de base de C para B.
(1 ponto) c) Se um polinômio p tem coordenadas ( 1,1,1,1 ) na base canônica, ou seja, na base B, quais são as suas coordenadas na base ordenada C ?
(0,5 ponto) d) P3(F) é isomorfo a M2(F) ? Justifique.

Passo 1

Estamos em P3(F) com as bases
B=(1,;t,;t^2,;t^3)
e
C=(,1,;1+t,;1+t^2,;t^3,)
O objetivo é achar as matrizes de mudança de base
;IC B de B para C e
;IB C de C para B, além de usar essas matrizes para converter coordenadas de um polinômio e, por fim, discutir isomorfismo com M2(F).

Passo 2

Expressamos cada vetor de C como combinação linear dos vetores de B. Vejamos:
1 &= 1cdot1 + 0cdot t + 0cdot t^2 + 0cdot t^3, 1+t &= 1cdot1 + 1cdot t + 0cdot t^2 + 0cdot t^3, 1+t^2 &= 1cdot1 + 0cdot t + 1cdot t^2 + 0cdot t^3, t^3 &= 0cdot1 + 0cdot t + 0cdot t^2 + 1cdot t^3

Passo 3

Dessas combinações extraímos as colunas de IB C, que leva coordenadas em C para coordenadas em B:
IB C = 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 (onde ([v]B=IBC,[v]C))

Passo 4

Para obter IC B, invertemos IB C. Como é triangular superior com 1 na diagonal, basta mudar o sinal dos termos acima da diagonal:
IC B ;=;(IB C)^-1 = 1 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 (onde ([v]C=ICB,[v]B))

Passo 5

Se um polinômio p tem [p]B=(1,1,1,1)^T, então suas coordenadas em C são
[p]C = IC B,[p]B = 1 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1111 = -1111

Passo 6

Tanto P3(F) quanto M2(F) são espaços vetoriais de dimensão 4 sobre F. Espaços de mesma dimensão sobre o mesmo corpo são isomorfos. Por exemplo,
a + b,t + c,t^2 + d,t^3 ;longmapsto; a & b[6pt] c & d
é um isomorfismo explícito.]

Resposta

(a) IC B= 1 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
(b) IB C= 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
(c) [p]C=(-1,,1,,1,,1)^T
(d) Sim. Ambos têm dimensão 4 sobre F, logo são isomorfos.

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