No espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , considere as seguintes bases ordenadas: e .
(1,5 ponto) a) Escreva os elementos da base ordenada em função dos elementos da base ordenada . Determine , a matriz de mudança de base de para .
(1 ponto) b) Determine , a matriz de mudança de base de para .
(1 ponto) c) Se um polinômio tem coordenadas ( ) na base canônica, ou seja, na base , quais são as suas coordenadas na base ordenada ?
(0,5 ponto) d) é isomorfo a ? Justifique.
Passo 1
Estamos em com as bases
e
O objetivo é achar as matrizes de mudança de base de para e de para , além de usar essas matrizes para converter coordenadas de um polinômio e, por fim, discutir isomorfismo com .
Passo 2
Expressamos cada vetor de como combinação linear dos vetores de . Vejamos:
Passo 3
Dessas combinações extraímos as colunas de , que leva coordenadas em para coordenadas em :
Passo 4
Para obter IC B, invertemos IB C. Como é triangular superior com 1 na diagonal, basta mudar o sinal dos termos acima da diagonal: