Podc-sc mostrar que a multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é sempre maior do que ou igual a dimensão do autoespaço associado a ele. Determine h na matriz A a seguir de modo que o autoespaço associado a \lambda=4 seja bidimensional:
A=\left[\begin{array}{cccc} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 4 & 2 & 3 & 3 \\\\ 0 & 2 & h & 3 \\\\ 0 & 0 & 4 & 14 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
e pede que se determine h de modo que o autoespaço associado ao autovalor \lambda=4 seja bidimensional (ou seja, que a dimensão do autoespaço de \lambda=4 seja igual a 2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A é 4\times4.
  • O autovalor de interesse é \lambda=4.
  • A incógnita a ajustar é h.
  • O objetivo é fazer com que a dimensão do autoespaço correspondente a \lambda=4 valha 2.

Passo 2

Primeiro um mini-aula (didática e curta) sobre multiplicidades e autoespaço — porque isso é crucial para entender o resto.
  • Definições:
    • A multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico de A.
    • O autoespaço associado a \lambda é \ker(A-\lambda I) e sua dimensão chama-se multiplicidade geométrica.
  • A afirmação fundamental que precisamos lembrar e usar: a multiplicidade geométrica é sempre menor ou igual à multiplicidade algébrica. Intuição simples: numa forma de Jordan (ou pensando em blocos de Jordan), cada bloco de Jordan para \lambda contribui com 1 dimensão ao autoespaço, enquanto a soma dos tamanhos desses blocos é a multiplicidade algébrica; logo o número de blocos (geométrica) não pode exceder a soma dos tamanhos (algébrica).
  • Consequência prática: para que o autoespaço de \lambda=4 tenha dimensão 2 é necessário (e, neste contexto suficiente) que a multiplicidade algébrica de \lambda=4 seja pelo menos 2. Se a multiplicidade algébrica for exatamente 2, então a dimensão do autoespaço só pode ser 1 ou 2; queremos o caso em que seja 2.

Passo 3

Calcular a multiplicidade algébrica de \lambda=4 para esta matriz.
  • Observação prática: A é triangular superior. Para matrizes triangulares, os autovalores são exatamente as entradas da diagonal (cada uma conta como uma raiz do polinômio característico, com multiplicidade conforme sua repetição na diagonal).
  • Da diagonal de A vemos os autovalores \,4,2,4,2. Portanto \lambda=4 aparece duas vezes na diagonal.
  • Conclusão: a multiplicidade algébrica de \lambda=4 é 2. Isso significa que a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) pode ser 1 ou 2. Queremos forçar que seja 2.

Passo 4

Converter o requisito de dimensão do autoespaço em uma condição algébrica: a dimensão do autoespaço é \dim\ker(A-4I), que é a nulidade de A-4I. Pela fórmula do posto-nulidade para uma matriz 4\times4,
\dim\ker(A-4I)=4-\operatorname{rank}(A-4I).
Queremos \dim\ker(A-4I)=2, logo deve valer
4-\operatorname{rank}(A-4I)=2 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{rank}(A-4I)=2.

Passo 5

Escrever explicitamente A-4I e estudar seu posto.
  • Calcular A-4I:
A-4I=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 3 & 3 \\\\ 0 & -2 & h & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 14 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right].
  • Observação: a primeira coluna é toda zerada; então o posto depende das colunas 2,3,4 (ou equivalentemente das linhas não-nulas restantes).

Passo 6

Determinar h fazendo \operatorname{rank}(A-4I)=2.
  • Considere a submatriz 3\times3 obtida pelas linhas 1,2,3 e colunas 2,3,4:
M=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 3\\[4pt] -2 & h & 3\\[4pt] 0 & 0 & 14 \end{array}\right].
Se \det(M)\neq 0 então essas três colunas/linhas são linearmente independentes e o posto de A-4I seria pelo menos 3. Para que o posto seja 2 precisamos que \det(M)=0.
  • Calcular \det(M). Como a última linha tem apenas o último elemento não-nulo, expande-se facilmente:
\det(M)=14\cdot\det\left(\begin{pmatrix}2&3\\\ -2&h\end{pmatrix}\right) =14\cdot(2h - (3)(-2))=14\cdot(2h+6)=28(h+3).
  • Para obter posto 2 precisamos de \det(M)=0, logo
28(h+3)=0 \quad\Rightarrow\quad h=-3.]

Passo 7

Verificar que com h=-3 o posto realmente fica 2 (e portanto a nulidade é 2) e mostrar a base do autoespaço para fixar a intuição.
  • Substituindo h=-3 em A-4I obtemos
A-4I=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 3 & 3 \\\\ 0 & -2 & -3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 14 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right].
A partir da terceira linha vem a equação 14x_4=0, portanto x_4=0. A quarta linha é dependente da terceira. Com x_4=0, as duas primeiras linhas reduzem-se à mesma equação (uma é múltiplo da outra): 2x_2+3x_3=0. A variável x_1 não aparece em nenhuma equação, logo é livre.
  • Resolvendo:
    • Tome parâmetros s,t. Ponha x_1=s e x_3=t.
    • Da equação 2x_2+3x_3=0 vem x_2=-\tfrac{3}{2}t.
    • E x_4=0.
  • Então os vetores do autoespaço são
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ -\tfrac{3}{2}\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Uma base inteira (sem fração) pode ser escolhida como
\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ -3\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
Isso mostra explicitamente que a nulidade é 2 (autoespaço de dimensão 2) quando h=-3.

Resposta

h=-3

Exercícios relacionados