Podc-sc mostrar que a multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é sempre maior do que ou igual a dimensão do autoespaço associado a ele. Determine h na matriz A a seguir de modo que o autoespaço associado a \lambda=4 seja bidimensional:
e pede que se determine h de modo que o autoespaço associado ao autovalor \lambda=4 seja bidimensional (ou seja, que a dimensão do autoespaço de \lambda=4 seja igual a 2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz A é 4\times4.
O autovalor de interesse é \lambda=4.
A incógnita a ajustar é h.
O objetivo é fazer com que a dimensão do autoespaço correspondente a \lambda=4 valha 2.
Passo 2
Primeiro um mini-aula (didática e curta) sobre multiplicidades e autoespaço — porque isso é crucial para entender o resto.
Definições:
A multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico de A.
O autoespaço associado a \lambda é \ker(A-\lambda I) e sua dimensão chama-se multiplicidade geométrica.
A afirmação fundamental que precisamos lembrar e usar: a multiplicidade geométrica é sempre menor ou igual à multiplicidade algébrica. Intuição simples: numa forma de Jordan (ou pensando em blocos de Jordan), cada bloco de Jordan para \lambda contribui com 1 dimensão ao autoespaço, enquanto a soma dos tamanhos desses blocos é a multiplicidade algébrica; logo o número de blocos (geométrica) não pode exceder a soma dos tamanhos (algébrica).
Consequência prática: para que o autoespaço de \lambda=4 tenha dimensão 2 é necessário (e, neste contexto suficiente) que a multiplicidade algébrica de \lambda=4 seja pelo menos 2. Se a multiplicidade algébrica for exatamente 2, então a dimensão do autoespaço só pode ser 1 ou 2; queremos o caso em que seja 2.
Passo 3
Calcular a multiplicidade algébrica de \lambda=4 para esta matriz.
Observação prática: A é triangular superior. Para matrizes triangulares, os autovalores são exatamente as entradas da diagonal (cada uma conta como uma raiz do polinômio característico, com multiplicidade conforme sua repetição na diagonal).
Da diagonal de A vemos os autovalores \,4,2,4,2. Portanto \lambda=4 aparece duas vezes na diagonal.
Conclusão: a multiplicidade algébrica de \lambda=4 é 2. Isso significa que a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) pode ser 1 ou 2. Queremos forçar que seja 2.
Passo 4
Converter o requisito de dimensão do autoespaço em uma condição algébrica: a dimensão do autoespaço é \dim\ker(A-4I), que é a nulidade de A-4I. Pela fórmula do posto-nulidade para uma matriz 4\times4,
Se \det(M)\neq 0 então essas três colunas/linhas são linearmente independentes e o posto de A-4I seria pelo menos 3. Para que o posto seja 2 precisamos que \det(M)=0.
Calcular \det(M). Como a última linha tem apenas o último elemento não-nulo, expande-se facilmente:
A partir da terceira linha vem a equação 14x_4=0, portanto x_4=0. A quarta linha é dependente da terceira. Com x_4=0, as duas primeiras linhas reduzem-se à mesma equação (uma é múltiplo da outra): 2x_2+3x_3=0. A variável x_1 não aparece em nenhuma equação, logo é livre.