Considere a transformação linear D: P3(R) P3(R), onde D(p)=p^prime.
Escreva D na forma matricial em relação à base canônica t^3, t^2, t, 1.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de Dcolon P3(R)to P3(R) definida por D(p)=p' na base canônica t^3,t^2,t,1. Para montar essa matriz, vamos calcular as imagens dos vetores da base e expressá-los em coordenadas nessa mesma base.

Passo 2

Calcular D(t^3).
D(t^3) = ddt(t^3) = 3t^2
Em coordenadas na base t^3,t^2,t,1, isso corresponde ao vetor coluna
[,0,;3,;0,;0,]^T,
pois não há componente em t^3, há coeficiente 3 em t^2 e zero nas demais.

Passo 3

Calcular D(t^2).
D(t^2) = ddt(t^2) = 2t
Em coordenadas na mesma base, obtemos
[,0,;0,;2,;0,]^T

Passo 4

Calcular D(t).
D(t) = ddt(t) = 1
Em coordenadas na base t^3,t^2,t,1, isso é
[,0,;0,;0,;1,]^T

Passo 5

Calcular D(1).
D(1) = ddt(1) = 0,
cuja coordenada é
[,0,;0,;0,;0,]^T

Passo 6

Montar a matriz cujas colunas são os vetores obtidos nos passos anteriores, na ordem de t^3,t^2,t,1. Assim, a matriz de D é
0 & 0 & 0 & 0 3 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0

Resposta

[D]t^3,t^2,t,1= 0 & 0 & 0 & 0 3 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0

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