Seja T: P2(R) P2(R) um operador linear tal que (T(p0))(t)=1+t,(T(p1(t))(t)=t+t^2 e(T(p2))(t)= 1+t-t^2,
onde pi(t)=t^i, i=0,1,2.
T é bijetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define um operador linear
T: P2(R) to P2(R)
pelo efeito em a base natural p0,p1,p2, onde pi(t)=t^i:
T(p0)(t)=1+t, T(p1)(t)=t+t^2, T(p2)(t)=1+t-t^2
Queremos saber se T é bijetora. Como dim P2=3, basta mostrar que T é injetora (ou sobrejetora), o que equivale a mostrar que as imagens dos vetores de base são linearmente independentes.

Passo 2

Vamos escrever as imagens de p0,p1,p2 na base padrão 1,t,t^2. Chamando
T(p0)=1+t=(1,1,0), T(p1)=t+t^2=(0,1,1), T(p2)=1+t-t^2=(1,1,-1),
onde cada tripla (a,b,c) significa acdot1 + bcdot t + ccdot t^2. Assim a matriz de T nessa base é
M = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & -1 ,
cuja primeira, segunda e terceira colunas são, respectivamente, as coordenadas de T(p0), T(p1) e T(p2).

Passo 3

Calculamos det M. Usando expansão pela primeira linha:
det M =1cdotdet1&11&-1 -0cdot(dots) +1cdotdet1&10&1
Agora
det1&11&-1 =1cdot(-1)-1cdot1=-2, det1&10&1 =1cdot1-1cdot0=1
Logo
det M = 1cdot(-2) + 1cdot1 = -1 neq 0

Passo 4

Como det Mneq0, a matriz de T é inversível, o que implica que as colunas (imagens de p0,p1,p2) são linearmente independentes. Portanto T é injetora e, como domínio e contradomínio têm mesma dimensão, também sobrejetora.

Resposta

Sim. T é bijetora, pois sua matriz na base 1,t,t^2 tem determinante -1neq0, logo é inversível.

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