Seja um operador linear tal que ,
onde . é bijetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
pelo efeito em a base natural , onde :
Queremos saber se é bijetora. Como , basta mostrar que é injetora (ou sobrejetora), o que equivale a mostrar que as imagens dos vetores de base são linearmente independentes.
Passo 2
Vamos escrever as imagens de na base padrão . Chamando
onde cada tripla significa . Assim a matriz de nessa base é
cuja primeira, segunda e terceira colunas são, respectivamente, as coordenadas de T(p0), T(p1) e T(p2).
Passo 3
Calculamos det M. Usando expansão pela primeira linha:
det M =1cdotdet1&11&-1 -0cdot(dots) +1cdotdet1&10&1
Como det Mneq0, a matriz de T é inversível, o que implica que as colunas (imagens de p0,p1,p2) são linearmente independentes. Portanto T é injetora e, como domínio e contradomínio têm mesma dimensão, também sobrejetora.
Resposta
Sim. T é bijetora, pois sua matriz na base 1,t,t^2 tem determinante -1neq0, logo é inversível.