Sendo T: V W uma transformação linear. Mostrar que dim ker(T)+dim Im(T)=dim V. Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para toda transformação linear Tcolon Vto W,
dimker(T)+dimIm(T)=dim V,
que é exatamente o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo--Imagem). Vamos usar bases, extensão de bases e propriedades de dimensão.

Passo 2

Escolha uma base v1,dots,vk de ker(T). Como ker(T)subseteq V, podemos estender essa base a uma base de V:
v1,dots,vk,,u1,dots,ur
Logo
dim V = k + r

Passo 3

Consideremos o conjunto
lT(u1),dots,T(ur)rsubseteq Im(T)
1. Geração: se winIm(T), existe vin V com T(v)=w. Escrevendo v=sumi=1^kaivi+sumj=1^rbjuj, temos
w=T(v)=sumi=1^kaiT(vi)+sumj=1^rbjT(uj) =sumj=1^rbjT(uj),
pois T(vi)=0. Assim T(uj) gera Im(T).
2. Independência: se sumj=1^rcjT(uj)=0, então
Tl(sumj=1^rcjujr)=0 Longrightarrow sumj=1^rcjujinker(T)
Como os uj foram escolhidos fora do núcleo e complementam os vi, a soma só pode zerar se todos cj=0. Logo são LI.
Portanto T(u1),dots,T(ur) é base de Im(T) e
dimIm(T)=r

Passo 4

Juntando os resultados:
dimker(T)=k, dimIm(T)=r, dim V = k + r,
logo
dimker(T)+dimIm(T)=dim V

Passo 5

Exemplo 1: Seja TcolonR^3toR^2 dada por
T(x,y,z)=(,x+y,;y+z,)
A matriz de T é
1&1&00&1&1,
que tem posto 2, logo dimIm(T)=2. Resolver
;x+y=0,;y+z=0; (x,y,z)=t(-1,1,-1), tinR, então dimker(T)=1. De fato 2+1=3.

Passo 6

Exemplo 2: Seja TcolonR^2toR^2 definida por
T(x,y)=(x,0)
Aqui ker(T)=(0,y) tem dimensão 1, e Im(T)=(x,0) também tem dimensão 1. Logo 1+1=2, que é dimR^2.

Resposta

dimker(T)+dimIm(T)=dim V
Exemplo 1: dimker(T)=1, dimIm(T)=2, soma 3.
Exemplo 2: dimker(T)=1, dimIm(T)=1, soma 2.

Exercícios relacionados