Sendo
uma transformação linear. Mostrar que
. Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para toda transformação linear
,
que é exatamente o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo--Imagem). Vamos usar bases, extensão de bases e propriedades de dimensão.
Passo 2
Escolha uma base
de
. Como
, podemos estender essa base a uma base de
:
Logo
Passo 3
Consideremos o conjunto
pois
. Assim
gera
.
. Independência: se
, então
Como os
foram escolhidos fora do núcleo e complementam os
, a soma só pode zerar se todos
. Logo são LI.
Portanto
é base de
e
Passo 4
Juntando os resultados:
logo
Passo 5
Exemplo
: Seja
dada por
A matriz de
é
,
que tem posto , logo
. Resolver
dá
,
, então
. De fato
.
que tem posto
Passo 6
Exemplo
: Seja
definida por
Aqui
tem dimensão
, e
também tem dimensão
. Logo
, que é
.
Resposta
Exemplo
:
,
, soma
.
Exemplo :
,
, soma
.
Exemplo