Considere a transformação linear T: R^2 R^2 definida em relação à base canónica pela matriz
A=[ll -2 & 3 -4 & 5 ]
Existem bases B de R^2 na qual a transformação T é representada por
B=[ll 1 & 0 0 & 2 ]
Determine uma dessas bases a partir da relação que conhece entre as matrizes A e B.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^2toR^2 cuja matriz na base canónica é
A = -2 & 3 -4 & 5
e diz que existe uma base B em que a matriz de T é
B = 1 & 0 0 & 2
Para isso vamos usar a ideia de diagonalizar A: encontrar uma matriz P invertível tal que
P^-1 A,P = B,
cujas colunas de P são autovetores de A associados aos autovalores 1 e 2.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A resolvendo
det(A - lambda I) = 0
Temos
A - lambda I = -2-lambda & 3 -4 & 5-lambda ,
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det(A - lambda I) = (-2-lambda)(5-lambda) - 3cdot(-4) = (!-2-lambda)(5-lambda) +12
Expandindo,
det(A - lambda I) = (!-2)(5) +2lambda -5lambda +lambda^2 +12 = lambda^2 -3lambda +2 = (lambda-1)(lambda-2)
Assim os autovalores são lambda1=1 e lambda2=2.

Passo 3

Para resolvemos , isto é
Da primeira linha vem . Um autovetor conveniente é

Passo 4

Para resolvemos , isto é
Da primeira linha vem . Um autovetor conveniente é

Passo 5

Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes e diagonalizam A. Portanto a base
B = l,11,;34r
é uma das bases em que a matriz de T é 1&00&2.

Resposta

B = l(1,1)^T,,(3,4)^Tr.

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