Considere a transformação linear
definida em relação à base canónica pela matriz
Existem bases
B de
R^2 na qual a transformação
T é representada por
B=[ll 1 & 0 0 & 2 ]
Determine uma dessas bases a partir da relação que conhece entre as matrizes
A e
B .
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
T:R^2toR^2 cuja matriz na base canónica é
e diz que existe uma base
B em que a matriz de
T é
Para isso vamos usar a ideia de diagonalizar
A : encontrar uma matriz
P invertível tal que
cujas colunas de
P são autovetores de
A associados aos autovalores
1 e
2 .
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A resolvendo
Temos
logo
Expandindo,
Assim os autovalores são
lambda1=1 e
lambda2=2 .
Passo 3
Para
resolvemos
, isto é
Da primeira linha
vem
. Um autovetor conveniente é
Passo 4
Para
resolvemos
, isto é
Da primeira linha
vem
. Um autovetor conveniente é
Passo 5
Os vetores
v1 e
v2 são linearmente independentes e diagonalizam
A . Portanto a base
é uma das bases em que a matriz de
T é
1&00&2 .