Questão 3 (3 pts.) Seja o operador linear definido por
(a) Verifique que é um isomorfismo;
(b) Encontre uma matriz que represente o seu inverso.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede:
– (a) Verificar que é um isomorfismo (isto é, invertível);
– (b) Encontrar uma matriz que represente .
Para isso vamos montar a matriz de na base canônica, calcular seu determinante para garantir invertibilidade e depois resolver explicitamente o sistema para obter .
Passo 2
Vamos achar a matriz de na base canônica . Basta ver em coordenadas: , , .
Logo, escrevendo essas imagens como colunas,
Passo 3
Para verificar que T é isomorfismo, basta mostrar det Aneq0. Calculamos
det A =0cdot1&0-1&0 -(-1)cdot0&01&0 +1cdot0&11&-1
Os dois primeiros mineores são zero, e o terceiro vale
0&11&-1 =0cdot(-1)-1cdot1=-1
Logo det A=1cdot(-1)=-1neq0. Assim A é invertível e T é um isomorfismo.
Passo 4
Para achar T^-1, note que se (u,v,w)=T(x,y,z), temos
v=y, u=z-y, w=x-y
Daí
y=v, z=u+v, x=w+v
Portanto
T^-1(u,v,w)=(w+v,;v,;u+v)
Em particular, T^-1(1,0,0)=(0,0,1), T^-1(0,1,0)=(1,1,1), T^-1(0,0,1)=(1,0,0). Colocando essas colunas, a matriz de T^-1 é
B = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0
Resposta
(a) T é isomorfismo porque det A=-1neq0.
(b) Uma matriz que representa T^-1 na base canônica é