Questão 3 (3 pts.) Seja T: R^3 R^3 o operador linear definido por
T(x, y, z)=(z-y, y, x-y)
(a) Verifique que T é um isomorfismo;
(b) Encontre uma matriz que represente o seu inverso.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(z-y,;y,;x-y),
e pede:
– (a) Verificar que T é um isomorfismo (isto é, invertível);
– (b) Encontrar uma matriz que represente T^-1.
Para isso vamos montar a matriz de T na base canônica, calcular seu determinante para garantir invertibilidade e depois resolver explicitamente o sistema para obter T^-1.

Passo 2

Vamos achar a matriz A de T na base canônica e1,e2,e3. Basta ver T(ej) em coordenadas:
T(e1)=T(1,0,0)=(0,0,1),
T(e2)=T(0,1,0)=(-1,1,-1),
T(e3)=T(0,0,1)=(1,0,0).
Logo, escrevendo essas imagens como colunas,
A = 0 & -1 & 1 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0

Passo 3

Para verificar que T é isomorfismo, basta mostrar det Aneq0. Calculamos
det A =0cdot1&0-1&0 -(-1)cdot0&01&0 +1cdot0&11&-1
Os dois primeiros mineores são zero, e o terceiro vale
0&11&-1 =0cdot(-1)-1cdot1=-1
Logo det A=1cdot(-1)=-1neq0. Assim A é invertível e T é um isomorfismo.

Passo 4

Para achar T^-1, note que se (u,v,w)=T(x,y,z), temos
v=y, u=z-y, w=x-y
Daí
y=v, z=u+v, x=w+v
Portanto
T^-1(u,v,w)=(w+v,;v,;u+v)
Em particular, T^-1(1,0,0)=(0,0,1), T^-1(0,1,0)=(1,1,1), T^-1(0,0,1)=(1,0,0). Colocando essas colunas, a matriz de T^-1 é
B = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0

Resposta

(a) T é isomorfismo porque det A=-1neq0.
(b) Uma matriz que representa T^-1 na base canônica é
0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0

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