Seja o espaço linear dos polinómios de grau menor ou igual a .
(a) Mostre que a transformação definida por
onde e são números reais, é uma transformação linear.
(b) Determine a representação matricial para em relação à base ordenada .
(c) Discuta a dimensão do núcleo de em termos de e . Em cada caso, indique uma base para o núcleo.
(d) Utilize os resultados da alínea anterior para determinar as soluções em da equação diferencial
(e) Utilize os resultados da alínea (c) para determinar todas as soluções em da equação diferencial
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço vetorial dos polinómios de grau sobre e define
com .
Conteúdos necessários:
Propriedades de transformações lineares.
Cálculo de matrizes em base canónica .
Estudo do núcleo via sistema linear e determinante.
Resolução de equações diferenciais lineares de 2.º ordem em espaço de polinómios.
Passo 2
Mostramos que é linear verificando aditividade e homogeneidade. Dados e :
Logo, é transformação linear.
Passo 3
Para obter a matriz de na base calculamos
Escrevendo cada resultado pelos coeficientes em , a matriz de é
Passo 4
Para estudar ker T resolvemos T(p)=0. Seja
p(t)=A,t^3+B,t^2+C,t+D
Então T(p)=0 gera o sistema linear nas incógnitas A,B,C,D. Como [T] é triangular, det[T]=b^4.
Se bneq0 então det[T]neq0, logo ker T=0 e dimker T=0.
Se b=0 e aneq0, então det[T]=0 mas só a primeira coluna é zero: rank =3, nullidade =1. Resolve-se p''+a,p'=0 e obtém-se p(t)=D. Logo ker T=span1, dimensão 1.
Se a=b=0 então T(p)=p'' e p''=0Rightarrow p(t)=C,t+D. Aqui dimker T=2 e ker T=span1,t.
Passo 5
As soluções polinomiais em P3 da equação homogénea
p''+a,p'+b,p=0
são exatamente ker T. Portanto:
Para bneq0: única solução pequiv0.
Para b=0,aneq0: p(t)=D, DinR.
Para a=b=0: p(t)=C,t+D, C,DinR.
Passo 6
Procuramos todas as soluções em P3 de
p''+a,p'+b,p = 1 - t^2
Caso bneq0: T é invertível, há solução única. Fazendo o ansatz p=A,t^3+B,t^2+C,t+D e igualando coeficientes de
Caso b=0,aneq0: dimker T=1, o sistema é compatível se a parte não homogénea estiver em ImT. Fazendo ansatz igual e resolvendo
3aA,t^2+(6A+2aB),t+(2B+aC)= -t^2+1
vem
A=-13a, B=1a^2, C=a^2-2a^3, D livre
A família geral é prm part(t)+D, com prm part acima e DinR.
3. Caso a=b=0: a equação fica p''=1-t^2. Integrando duas vezes obtém-se termo em t^4, logo não há soluções em P3.
Resposta
(a) T é linear pois preserva soma e produto por escalar conforme demonstrado.
(b) Na base 1,t,t^2,t^3,
[T] = b & a & 2 & 0 0 & b & 2a & 6 0 & 0 & b & 3a 0 & 0 & 0 & b
(c) dimker T=0 se bneq0; dimker T=1 se b=0,aneq0 com ker T=span1; dimker T=2 se a=b=0 com ker T=span1,t.
(d) As soluções de p''+a,p'+b,p=0 em P3 são os elementos de ker T descritos em (c).
(e) As soluções de p''+a,p'+b,p=1-t^2 são: