Seja Pn o espaço linear dos polinómios de grau menor ou igual a n.
(a) Mostre que a transformação T: P3 P3 definida por
T(p)=p^prime prime+a p^prime+b p
onde a e b são números reais, é uma transformação linear.
(b) Determine a representação matricial para T em relação à base ordenada 1, t, t^2, t^3.
(c) Discuta a dimensão do núcleo de T em termos de a e b. Em cada caso, indique uma base para o núcleo.
(d) Utilize os resultados da alínea anterior para determinar as soluções em P3 da equação diferencial
p^prime prime+a p^prime+b p=0
(e) Utilize os resultados da alínea (c) para determinar todas as soluções em P3 da equação diferencial
p^prime prime+a p^prime+b p=1-t^2

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial P3 dos polinómios de grau <=3 sobre R e define
Tcolon P3to P3, T(p)=p''+a,p'+b,p
com a,binR.
Conteúdos necessários:
  1. Propriedades de transformações lineares.
  2. Cálculo de matrizes em base canónica 1,t,t^2,t^3.
  3. Estudo do núcleo via sistema linear e determinante.
  4. Resolução de equações diferenciais lineares de 2.º ordem em espaço de polinómios.

Passo 2

Mostramos que T é linear verificando aditividade e homogeneidade. Dados p,qin P3 e lambdainR:
T(p+q)=(p+q)''+a(p+q)'+b(p+q) =p''+q''+a(p'+q')+b(p+q) =T(p)+T(q),
T(lambda p)= (lambda p)''+a(lambda p)'+b(lambda p) =lambda p''+alambda p'+blambda p =lambda T(p)
Logo, T é transformação linear.

Passo 3

Para obter a matriz de T na base 1,t,t^2,t^3 calculamos
T(1)=0+0+bcdot1=b,
T(t)=0+acdot1+b,t=a+b,t,
T(t^2)=2+ acdot2t +b,t^2=2+2a,t+b,t^2,
T(t^3)=6t+ acdot3t^2+b,t^3=6,t+3a,t^2+b,t^3
Escrevendo cada resultado pelos coeficientes em 1,t,t^2,t^3, a matriz de T é
[T] = b & a & 2 & 0 0 & b & 2a & 6 0 & 0 & b & 3a 0 & 0 & 0 & b

Passo 4

Para estudar ker T resolvemos T(p)=0. Seja
p(t)=A,t^3+B,t^2+C,t+D
Então T(p)=0 gera o sistema linear nas incógnitas A,B,C,D. Como [T] é triangular,
det[T]=b^4.
  • Se bneq0 então det[T]neq0, logo ker T=0 e dimker T=0.
  • Se b=0 e aneq0, então det[T]=0 mas só a primeira coluna é zero: rank =3, nullidade =1. Resolve-se p''+a,p'=0 e obtém-se p(t)=D. Logo
    ker T=span1, dimensão 1.
  • Se a=b=0 então T(p)=p'' e p''=0Rightarrow p(t)=C,t+D. Aqui dimker T=2 e
    ker T=span1,t.

Passo 5

As soluções polinomiais em P3 da equação homogénea
p''+a,p'+b,p=0
são exatamente ker T. Portanto:
  • Para bneq0: única solução pequiv0.
  • Para b=0,aneq0: p(t)=D, DinR.
  • Para a=b=0: p(t)=C,t+D, C,DinR.

Passo 6

Procuramos todas as soluções em P3 de
p''+a,p'+b,p = 1 - t^2
  1. Caso bneq0: T é invertível, há solução única. Fazendo o ansatz p=A,t^3+B,t^2+C,t+D e igualando coeficientes de
bA,t^3 + (3aA+bB),t^2 + (6A+2aB+bC),t + (2B+aC+bD) = -t^2+1
obtemos
A=0, B=-1b, C=2ab^2, D=1b+2b^2-2a^2b^3
  1. Caso b=0,aneq0: dimker T=1, o sistema é compatível se a parte não homogénea estiver em ImT. Fazendo ansatz igual e resolvendo
3aA,t^2+(6A+2aB),t+(2B+aC)= -t^2+1
vem
A=-13a, B=1a^2, C=a^2-2a^3, D livre
A família geral é prm part(t)+D, com prm part acima e DinR.
3. Caso a=b=0: a equação fica p''=1-t^2. Integrando duas vezes obtém-se termo em t^4, logo não há soluções em P3.

Resposta

(a) T é linear pois preserva soma e produto por escalar conforme demonstrado.
(b) Na base 1,t,t^2,t^3,
[T] = b & a & 2 & 0 0 & b & 2a & 6 0 & 0 & b & 3a 0 & 0 & 0 & b
(c) dimker T=0 se bneq0; dimker T=1 se b=0,aneq0 com ker T=span1; dimker T=2 se a=b=0 com ker T=span1,t.
(d) As soluções de p''+a,p'+b,p=0 em P3 são os elementos de ker T descritos em (c).
(e) As soluções de p''+a,p'+b,p=1-t^2 são:
  • Se bneq0, única solução com
p(t)=-1b,t^2+2ab^2,t+l(1b+2b^2-2a^2b^3r)
  • Se b=0,aneq0, família
p(t)=-13a,t^3+1a^2,t^2+a^2-2a^3,t+D, DinR
  • Se a=b=0, não existem soluções em P3.

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