Questão 4 (2 pts.) Seja T: E F uma transformação linear. Mostre que se T é um isomorfismo, então dim(E)=dim(F).

Passo 1

O enunciado considera uma transformação linear T: EtoF que é um isomorfismo, ou seja, é linear, injetora e sobrejetora. Queremos mostrar que isso implica
dim(E)=dim(F)
Para isso, vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem).

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer transformação linear T: EtoF vale
dim(E) ;=;diml(ker(T)r);+;diml(im(T)r)

Passo 3

Como T é injetora, o núcleo de T é trivial, isto é,
ker(T)=0Longrightarrow diml(ker(T)r)=0
Logo de
dim(E) = diml(ker(T)r)+diml(im(T)r)
segue
dim(E) = diml(im(T)r)

Passo 4

Como T é sobrejetora, a imagem de T é todo o espaço F, ou seja,
im(T)=FLongrightarrow diml(im(T)r)=dim(F)
Substituindo na igualdade anterior, obtemos
dim(E)=dim(F)

Resposta

dim(E)=dim(F).

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