Questão 4 (2 pts.) Seja
uma transformação linear. Mostre que se
é um isomorfismo, então
.
Passo 1
O enunciado considera uma transformação linear
que é um isomorfismo, ou seja, é linear, injetora e sobrejetora. Queremos mostrar que isso implica
Para isso, vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem).
Passo 2
Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer transformação linear
vale
Passo 3
Como
é injetora, o núcleo de
é trivial, isto é,
Logo de
segue
Passo 4
Como
é sobrejetora, a imagem de
é todo o espaço
, ou seja,
Substituindo na igualdade anterior, obtemos