Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x-2 y-2 z,-x+3 y+4 z,-x-z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T definida por
T(x,y,z) = (x-2y-2z,\; -x+3y+4z,\; -x-z).
Pede-se a matriz B que representa a inversa de T (isto é, B = A^{-1} onde A é a matriz de T) e, em particular, o valor da entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) de B.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{o que foi dado: } T(x,y,z) \text{ conforme acima.}
\text{o que é pedido: } b_{13}.é

Passo 2

Vamos escrever a matriz A de T em relação à base canônica. Cada coluna de A são as imagens dos vetores da base canônica (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Observando as coordenadas dadas:
T(x,y,z)= \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\[4pt] -1 & 3 & 4\\[4pt] -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Portanto, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\\\ -1 & 3 & 4\\\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Estratégia para achar B=A^{-1}: uma maneira prática é observar que a coluna j de A^{-1} é a solução do sistema linear
A \mathbf{v} = \mathbf{e}_j,
onde \mathbf{e}_j é o j-ésimo vetor da base canônica. Ou seja, para encontrar a terceira coluna de B (que contém b_{13},b_{23},b_{33}), resolvemos A\mathbf{v}=\mathbf{e}_3 onde \mathbf{e}_3=(0,0,1)^T. Isso funciona porque A A^{-1} = I, então A vezes a coluna j de A^{-1} \mathbf{e}_j.

Passo 4

Chamemos a coluna desconhecida de B (terceira coluna) de \mathbf{v} = (u,v,w)^T. Escrevemos o sistema linear A\mathbf{v}=\mathbf{e}_3:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\\\ -1 & 3 & 4\\\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Escrevendo as equações do sistema (linha a linha):
\begin{cases} \;1\cdot u - 2\cdot v - 2\cdot w = 0,\\[4pt] -1\cdot u + 3\cdot v + 4\cdot w = 0,\\[4pt] -1\cdot u + 0\cdot v - 1\cdot w = 1. \end{cases}]

Passo 6

Da terceira equação temos uma relação simples entre u e w. Reescrevendo:
- u - w = 1.
Isolando u:
u = -w - 1.

Passo 7

Substituímos u = -w - 1 na primeira equação:
(-w-1) - 2v - 2w = 0.
Agrupando termos:
- w -1 -2v -2w = 0 \quad\Rightarrow\quad -3w -2v -1 = 0.
Isolando v:
2v + 3w = -1 \quad\Rightarrow\quad v = \frac{-1 - 3w}{2}.

Passo 8

Agora substituímos u = -w -1 e v = \dfrac{-1-3w}{2} na segunda equação:
- u + 3v + 4w = 0.
Primeiro substituindo u:
-(-w-1) + 3v + 4w = 0 \quad\Rightarrow\quad w + 1 + 3v + 4w = 0,
portanto
3v + 5w + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3v + 5w = -1.
Agora substituímos v:
3\left(\frac{-1 - 3w}{2}\right) + 5w = -1.
Calculando:
\frac{-3 - 9w}{2} + 5w = -1.
Multiplicando por 2 para evitar frações:
-3 - 9w + 10w = -2.
Simplificando:
-3 + w = -2 \quad\Rightarrow\quad w = 1.

Passo 9

Com w=1 voltamos às expressões para v e u:
v = \frac{-1 - 3w}{2} = \frac{-1 - 3\cdot 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2,
u = -w - 1 = -1 - 1 = -2.
Logo a terceira coluna de B=A^{-1} é
\begin{pmatrix}u\v\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 10

A entrada procurada b_{13} é o elemento da primeira linha e terceira coluna de B, ou seja, o primeiro componente da terceira coluna que acabamos de achar. Portanto
b_{13} = -2.

Resposta

(D) -2

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