Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x-2 y-2 z,-x+3 y+4 z,-x-z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T definida por
T(x,y,z) = (x-2y-2z,\; -x+3y+4z,\; -x-z).
Pede-se a matriz B que representa a inversa de T (isto é, B = A^{-1} onde A é a matriz de T) e, em particular, o valor da entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) de B.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{o que foi dado: } T(x,y,z) \text{ conforme acima.}
\text{o que é pedido: } b_{13}.
Passo 2
Vamos escrever a matriz A de T em relação à base canônica. Cada coluna de A são as imagens dos vetores da base canônica (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Observando as coordenadas dadas:
Estratégia para achar B=A^{-1}: uma maneira prática é observar que a coluna j de A^{-1} é a solução do sistema linear
A \mathbf{v} = \mathbf{e}_j,
onde \mathbf{e}_j é o j-ésimo vetor da base canônica. Ou seja, para encontrar a terceira coluna de B (que contém b_{13},b_{23},b_{33}), resolvemos A\mathbf{v}=\mathbf{e}_3 onde \mathbf{e}_3=(0,0,1)^T. Isso funciona porque A A^{-1} = I, então A vezes a coluna j de A^{-1} dá \mathbf{e}_j.
Passo 4
Chamemos a coluna desconhecida de B (terceira coluna) de \mathbf{v} = (u,v,w)^T. Escrevemos o sistema linear A\mathbf{v}=\mathbf{e}_3:
Escrevendo as equações do sistema (linha a linha):
\begin{cases} \;1\cdot u - 2\cdot v - 2\cdot w = 0,\\[4pt] -1\cdot u + 3\cdot v + 4\cdot w = 0,\\[4pt] -1\cdot u + 0\cdot v - 1\cdot w = 1. \end{cases}]
Passo 6
Da terceira equação temos uma relação simples entre u e w. Reescrevendo:
A entrada procurada b_{13} é o elemento da primeira linha e terceira coluna de B, ou seja, o primeiro componente da terceira coluna que acabamos de achar. Portanto