Dadas as retas
r: \frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-2} ; x=2, \quad s:\left\{\begin{array}{l}y=2 x \\\ z=x-3\end{array} \quad\right. e \mathrm{h}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+\mathrm{t} \\\ \mathrm{y}=1-3 \mathrm{t} \\\ \mathrm{z}=\mathrm{t},\end{array}\right.
determinar:
o ponto de interseção de s e h;
Passo 1
O enunciado pede o ponto de interseção entre as retas [s) e h. As informações dadas são:
A reta s é descrita pelo sistema
\begin{cases} y=2x\\[4pt] z=x-3 \end{cases}
A reta h\] é dada parametricamente por
\[\begin{cases} x=3+t\\[4pt] y=1-3t\\[4pt] z=t \end{cases}\]
onde \(t é o parâmetro da reta h.
A tarefa: determinar o ponto (se existir) que pertence simultaneamente a s e a h.]
Passo 2
Primeiro vamos colocar a reta s\) em forma paramétrica também, porque fica mais fácil comparar coordenadas. Tomo um parâmetro \(\lambda\) para \(s\) escolhendo \(x=\lambda\). Com isso, usando as equações de \(s\), obtemos:
\[\begin{cases} x=\lambda\\[4pt] y=2\lambda\\[4pt] z=\lambda-3 \end{cases}
Aqui \lambda\] representa qualquer valor possível de \(x na reta s; cada \lambda gera um ponto (\lambda,2\lambda,\lambda-3) em s.]
Passo 3
Reescrevendo a reta h\) (já dada em forma paramétrica) usando o parâmetro \(t\):
\[\begin{cases} x=3+t\\[4pt] y=1-3t\\[4pt] z=t \end{cases}
Cada valor de t\] gera um ponto \((3+t,\,1-3t,\,t) em h.]
Passo 4
Para que haja interseção entre s\) e \(h\) deve existir \(\lambda\) e \(t\) tais que as três coordenadas coincidam. Igualando coordena por coordena, obtemos o sistema:
\[\begin{cases} 3+t=\lambda\\[4pt] 1-3t=2\lambda\\[4pt] t=\lambda-3 \end{cases}
As incógnitas aqui são t\] e \(\lambda.]
Passo 5
Observação útil: a primeira equação dá \lambda=3+t. A terceira equação é t=\lambda-3. Se substituirmos \lambda=3+t na terceira obtemos t=(3+t)-3, que é uma identidade verdadeira, ou seja a terceira não traz informação nova além da primeira. Portanto basta usar a relação \lambda=3+t junto com a segunda equação para resolver.
Passo 6
Substituo \lambda=3+t na segunda equação 1-3t=2\lambda:
1-3t=2(3+t).
Agora resolvo passo a passo:
1-3t=6+2t
1-3t-2t=6
1-5t=6
-5t=6-1
-5t=5
t=-1.
Passo 7
Com t=-1, calculo \lambda usando \lambda=3+t:
\lambda=3+(-1)=2.
Verifico a terceira equação t=\lambda-3: -1=2-3 é verdadeira, portanto os valores são consistentes.
Passo 8
Agora obtenho o ponto de interseção substituindo t=-1 em h:
x=3+t=3+(-1)=2,
y=1-3t=1-3(-1)=1+3=4,
z=t=-1.
Também posso checar em s com \lambda=2: y=2\lambda=4 e z=\lambda-3=-1, bate certinho.
Passo 9
Portanto existe interseção e seu ponto é (2,4,-1). Força aí — sempre que tiver duas retas em forma paramétrica ou semi-paramétrica, igualar coordenadas é o caminho direto para achar interseção.